Operaciones a través de la Teoría Morse

Question

Estoy interesado en ver si y cómo la teoría Morse puede "hacerlo todo". Algunas cosas fundamentales son la descomposición del mango, la periodicidad de Bott y la característica de Euler. Pero, ¿cómo son las operaciones normales de (co)homología de la Homología Morse?

La dualidad de Poincare $H_*(M) \cong H^{n- \ast }(M)$ es la simetría $f \to -f$ es decir, la inversión de las líneas de flujo.
Producto de la copa $H^i(M) \otimes H^j(M) \to H^{i+j}(M)$ se da contando las líneas de flujo en forma de Y, usando las funciones Morse a lo largo de cada uno de los tres bordes. El producto de la tapa está conectado a los dos anteriores.
El isomorfismo de Kunneth $H_ \ast (M \times N) \cong H_ \ast (M) \otimes H_ \ast (N)$ está combinando líneas de flujo de $f_1:M \to\mathbb {R}$ y $f_2:N \to \mathbb {R}$ para obtener líneas de flujo para $f_1+f_2:M \times N \to\mathbb {R}$ .
Secuencia espectral de Leray-Serre : retroceder una función Morse en la base (las líneas de flujo del espacio total se proyectan sobre las líneas de flujo del espacio base) y utilizar una filtración ordenando los índices de los puntos críticos.

¿Alguien sabe lo que pasa por lo siguiente?
1) Producto inclinado
2) La dualidad de Alexander
3) Las operaciones de Steenrod (en particular, la La fórmula de Cartan )
4) Producto triple de Massey

Mi conjetura para (4) es contar las líneas de flujo en forma de X, y luego sospecho de su relación con $A_ \infty $ -estructuras de la homología de la Flota de la Intersección de Lagrange.

Había un post de MathOverflow para (2), aquí . La dualidad de Alexander $H_ \ast (S^n-M) \cong H^{n-1- \ast }(M)$ surge al tomar una función de altura en $S^n$ y perturbarlo para que se convierta en morse en el subespacio $M \subset S^n$ y luego separando los puntos críticos según su vecindario tubular y su complemento.

[[Editar]] El artículo de Cohen y Schwarz "Una descripción teórica morse de la topología de las cuerdas" proporciona la cohomología relativa y el El isomorfismo de Thom así como homomorfismos que surgen de las incrustaciones adecuadas de los submanifolds.

Answer 1

Este documento por Cohen y Norbury discutieron las operaciones de Steenrod, incluyendo las relaciones con Adem y las fórmulas de Cartan.

Aquí está el resumen:

En este trabajo definimos y estudiamos el espacio de los módulos de los flujos gráficos métricos en un múltiple M.

Se trata de un espacio de mapas lisos de un gráfico finito a M, que, cuando se restringe a cada borde, es una línea de flujo de gradiente de una función lisa (y genéricamente Morse) en M. Utilizando el modelo de la teoría de Gromov-Witten, con este espacio de módulos sustituyendo al espacio de curvas holomórficas estables en un múltiple simplético, obtenemos invariantes, que son operaciones de (co)homología en M. Las invariantes obtenidas en este entorno son operaciones de cohomología clásicas como el producto de copa, los cuadrados Steenrod y las clases Stiefel-Whitney. Mostramos que estas operaciones satisfacen las propiedades de invariancia y pegado que encajan entre sí para dar la estructura de una teoría de campo cuántico topológica. Al considerar las operaciones de equivalencia con respecto a la acción del grupo de automorfismo del gráfico, la teoría de campo tiene más estructura. Es análoga a una teoría de campo homológica conformada. En particular mostramos que las relaciones clásicas como las relaciones de Adem y las fórmulas de Cartan son consecuencias de estas propiedades de la teoría de campo.

Estas operaciones se definen y estudian mediante dos métodos diferentes. En primer lugar, utilizamos técnicas topológicas algebraicas para definir las clases fundamentales virtuales apropiadas de estos espacios de módulos. Esto nos permite definir las operaciones a través de los correspondientes números de intersección del espacio de los módulos. En segundo lugar, utilizamos técnicas geométricas y analíticas para estudiar las propiedades de suavidad y compactación de estos espacios de módulos. Esto nos permitirá definir estas operaciones a nivel de los complejos de la cadena Morse-Smale, contando adecuadamente los flujos métricos-gráficos con condiciones de límite particulares.

Answer 2

Los productos Massey se tratan en la sección 1.3 de

Fukaya, Kenji. Homotopía morse, $A_{ \infty }$ -y Floer homologías. Actas de la GARC Taller de Geometría y Topología '93 (Seúl, 1993), 1--102,

disponible en aquí (pdf). Los productos Massey se obtienen contando los gráficos de flujo de gradiente con cuatro bordes externos y un borde interno (finito, posiblemente cero, de longitud). Fukaya esboza una construcción de un $A_{ \infty }$ categoría cuyos objetos son funciones Morse $f$ y con morfismos de $f$ a $g$ dado por el complejo de la cadena Morse de $f-g$ . En particular, los productos Massey pueden considerarse como derivados de la $A_{ \infty }$ estructura de una manera formal estándar.

Hay una relación con la teoría de la Flota de Lagrange: una función Morse $f:M \to \mathbb {R}$ corresponde a un submanifold de Lagrange $graph(df)$ de $T^*M$ y las intersecciones entre $graph(df)$ y $graph(dg)$ están en obvia bijección con puntos críticos de $f-g$ . Hay resultados, promovidos por

Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun. Las cuerdas abiertas de cero bucle en el paquete cotangente y homotopía morse. J. Math de Asia. 1 (1997), no. 1, 96--180,

que relacionan los gráficos de flujo de gradiente que aparecen en el Morse $A_{ \infty }$ operaciones a las curvas holomórficas que aparecen en el flotador de Lagrange $A_{ \infty }$ operaciones.

Answer 3

Las operaciones de Steenrod en homología de Floer se construyen en la tesis de Matthias Schwarz: http://www.math.uni-leipzig.de/~schwarz/diss.pdf

¿Quizás una construcción similar es factible para la homología morse?