¿Por qué es el conjunto de conmutadores no un subgrupo?

Question

Me sorprendí al ver que uno habla sobre el subgrupo generado por los conmutadores, porque pensé que el conmutadores forman un subgrupo. Algunas investigaciones me dijeron que es porque los conmutadores no son necesariamente cerrado bajo producto (libros por Rotman y Mac Lane apareció en una búsqueda en google me dice). Sin embargo, no podía encontrar un ejemplo real de esto. Lo que es uno? Los libros de google books hizo parecer como un ejemplo real es difícil de explicar.

Wikipedia hizo mención de que el producto $[a,b][c,d]$ en el grupo libre en $a,b,c,d$ es un ejemplo. Pero, ¿por qué? Sé que este producto es $aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}$, pero ¿por qué es que no hay un conmutador en este grupo?

Answer 1

I. D. MacDonald da razonables en los ejemplos de [I. D. MacDonald, Conmutadores y Sus Productos, La American Mathematical Monthly Vol. 93, Nº 6 (1986), pp 440-444]

Si usted tiene acceso a JSTOR, es en http://www.jstor.org/stable/2323464

En particular, se demuestra por una cuenta simple argumento de la agradable teorema que

si $G$ es un grupo finito y $|G:Z(G)|^2<|G'|$, $G'$ tiene elementos que no son de los conmutadores.

Aquí $Z(G)$ es el centro de la $G$ $G'$ sus derivados subgrupo.

Answer 2

Una respuesta directa a la libre grupos de pregunta:

Es fácil ver que $$[a, b][c, d]$$ is not a commutator in $F(a, b, c, d)$, as a commutator is of the form $wPw^{-1}Q$ for some words $P$ and $Q$ of the same length, $|P|=|Q|$ (it just so happens $Q=P^{-1}$). Quite clearly $$a^{-1}b^{-1}abc^{-1}d^{-1}cd$$ is not of this form. This is because $ba$ is not a subword of your commutator, and $a$ and $a^{-1}$ are split by a word of length $1$, and $1<5$.

Una alternativa a prueba sería el hecho de que $1\neq [U, V]$ no es nunca una potencia adecuada de cualquier palabra $W$, $U, V, W\in F_n$ todos los $n>1$. Así, por ejemplo, $[a, b]^2$ no es un colector. Este es un resultado de Schutzenberger (1959). Sin embargo, las pruebas de este resultado que existen parecen bastante involucrado (o, al menos, las pruebas que he encontrado). Pero el resultado es bastante...

Answer 3

Tuve problemas menores convencer a mí mismo de que el hecho de que el grupo descrito por Geoff existe (Ver también Derek Holt respuesta a la anterior versión de esta pregunta), más en particular, que tiene el orden prescrito. Así que me pasé algún tiempo en ella, y queremos compartir esta más concreto de la versión. Esperemos que no fumble este.

Dentro del grupo de triangular superior matrices 3x3 (entradas de $F_p$) tenemos (a menudo utilizado) de las matrices $$ A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right), $$ la satisfacción de las relaciones $A^p=B^p=C^p=1, [A,B]=C, [A,C]=[B,C]=1$.

El uso de estas podemos darnos cuenta de que el grupo como $m\times m$ triangular superior matrices, donde $m=3n(n-1)/2$ con $n(n-1)/2$ bloques (de tamaño 3x3) a lo largo de la diagonal. La etiqueta de los bloques con los pares de índices de $(i,j), 1\le i<j\le n$. El generador de $x_i$ ha matriz $A$ en cualquier bloque con la etiqueta $(i,y), y>i$, matriz $B$ en cualquier bloque con la etiqueta $(x,i),x<i$ y la matriz de identidad en los otros bloques. En consecuencia, el colector $[x_i,x_j]$ tiene la matriz $C$ en el bloque etiquetados $(i,j)$ y la matriz de identidad en otros lugares.

Todo el grupo $G$ a continuación, se compone de matrices con bloques $$ g_{i,j}=\left(\begin{array}{ccc}1&u_i&v_{i,j}\\0&1&u_j\\0&0&1\end{array}\right)=A^{u_i}C^{v_{i,j}-u_ju_i}B^{u_j}, $$ donde el $n(n+1)/2$ coeficientes de $u_i,v_{i,j}$ son arbitrarias elementos de $F_p$.

Si hay una manera más simple descripción concreta de este grupo, soy todo oídos :-).

Edit: de todos Modos, tenemos $x_i^p=1$ para todos los $i$, $[x_i,x_j]^p=1$ para $i<j$ y todos los conmutadores son centrales. El colector de un subgrupo consiste en todas aquellas matrices con $u_i=0$ todos los $i$. Un conmutador de dos elementos $[(g_{i,j}),(g'_{i,j})]$$v_{i,j}=u_iu'_j-u_ju'_i$, y hay muy pocos de esos.

Answer 4

De hecho, uno puede ir más allá de la (implícito) declaración en la cuestión. Para cualquier entero positivo $m,$ no es un grupo finito $G$ y un elemento $x \in [G,G]= G^{\prime}$ tal que $x$ no puede ser expresado como un producto de menos de $m$ conmutadores.

Una forma de ver esto es el uso de un grupo de $G$ de un formulario en el cual ocurre a menudo en este tipo de pregunta. Deje $p$ ser un extraño prime, y deje $G = \langle x_1,x_2,\ldots,x_n: x_i^{p} = [x_i,x_j]^{p} = [x_i,x_j,x_k] = 1 \rangle.$ Este es un finito $p$-grupo de orden $p^{\frac{n(n+1)}{2}}$ $|Z(G)| = p^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $G^{\prime} = Z(G).$ El número de conmutadores en $G$ es en la mayoría de las $[G:Z(G)]^{2} = p^{2n},$ usando el hecho de señalar en el papel de MacDonald mencionado en las otras respuestas. Desde $G^{\prime}$ es un elemental Abelian $p$-grupo de orden $p^{\frac{n(n-1)}{2}}$, hay elementos en $G^{\prime}$ que no puede ser expresado como un producto de menos de $\frac{n-1}{4}$ conmutadores.

Esto se discute en un artículo de R. Guralnick, como es el ejemplo de la orden de $96$ mencionado en otra respuesta. Recientemente, D. Segal ha obtenido buenos límites superiores para el número de $h$ de los conmutadores necesarios para expresar un elemento de $G^{\prime}$ como producto de la $h$ conmutadores al $G$ es finita solucionable grupo.

Hay muchas otras direcciones a seguir de aquí: no es un personaje interesante de la teoría de la fórmula debido a Burnside, que establece que si $G$ es un grupo finito, entonces un elemento $x \in G$ se puede expresar como un producto de $t$ conmutadores si y sólo si $\sum_{i=1}^{k} \frac{\chi_i(x)}{\chi_i(1)^{2t-1} }\neq 0$ donde $\chi_i : 1 \leq i \leq k$ son el complejo irreductible personajes de $G$.

Answer 5

Véase el ejercicio 2.43 en el libro "Una introducción a la teoría de grupo"- José Rotman (4ª ed.).

Él también había hecho un buen comentario:

El primer grupo finito en el que el producto de dos conmutadores no es un conmutador tiene orden de 96.