Series cuya convergencia no se conoce

Question

Para la mayoría de los conceptos matemáticos que puedo aprender, más o menos siempre ha sido posible encontrar (al menos en google y encontrar) sin resolver los problemas relativos al concepto específico. Mantener una bolsa de problemas sin resolver en la mayoría de los temas de los que conozco ha sido para mi beneficio en que me reafirma que la matemática es una próspera tema.

Llegando al punto, yo soy incapaz de encontrar una escuela primaria de la serie del tipo de las que sabemos sobre el análisis real de los cursos cuya convergencia es un problema sin resolver. Por favor, comparte si usted tiene cualquiera.

Gracias.

Answer 1

$1/\zeta(s)=\sum_{n>0}\frac{\mu(n)}{n^s}$ donde$\mu$ es la función Moebius. Se sabe que esta serie converge para$s\ge 1$ y diverge para$s\le 1/2$. Su convergencia es desconocida si$1/2< s< 1$ (la convergencia en este intervalo es esencialmente la hipótesis de Riemann).

Answer 2

Para un ejemplo interesante, tome$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|^n}{n}$. Decidir si esto converge o no parece requerir más conocimiento del que está disponible actualmente sobre las aproximaciones racionales de$\pi$. La serie$\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n t \pi)|^n}{n}$ converge para casi todos los$t$ reales (en el sentido de la medida de Lebesgue), pero diverge para$t$ en un subconjunto$G_\delta$ de$\mathbb R$.

EDITAR: ... y ahora se sabe que converge, como comentó Sam Hopkins.

Answer 3

En primer lugar, he aquí un ejemplo tonto: definir $a_n$ 1 si $n$ e $n+2$ son ambos primos. Creo que es justo decir que eso no cuenta como el tipo de serie que los cultivos hasta en un análisis elemental del curso. Pero la verdadera razón es una tontería, es que es sólo una codificación de un problema que no se trata de la convergencia de una serie en todos.

De alguna manera siento que los ejemplos que involucran $\sin n$ son de un sabor parecido, aunque se parecen elementales de la serie en análisis mucho más de cerca. Cuando se intenta resolver de ellos, puede encontrar rápidamente que el problema se convierte en otra cosa (en este caso, las preguntas acerca de aproximaciones racionales a $\pi$).

Probablemente sea pedir demasiado, pero me pregunto si hay una serie cuya convergencia no es conocido, donde uno no da la sensación de que la convergencia de la serie era sólo una forma artificial de pedirle a un problema diferente. La razón puede ser pedir demasiado es que cualquier intento de probar la convergencia es probable que implique una cierta cantidad de reformulación, y que es decir, lo que cuenta como cambiar el problema a uno diferente?

Pero permítanme intentar pedir una más estrecha pregunta que se pone en algún lugar en la dirección correcta. Hay una serie de $(a_n)$ que tiene un relativamente simple analítica de definición (por lo tanto no pueden codificar algunas contando problema), de tal forma que cada $a_n$ es no negativo, el $a_n$ están disminuyendo, la diferencia secuencia $a_{n+1}-a_n$ está disminuyendo, la diferencia de la secuencia de que está disminuyendo, y así sucesivamente, y la convergencia de la suma de $\sum a_n$ es desconocido?

Answer 4

Se desconoce la convergencia de$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{k}{p_k}$, donde$p_k$ es k-ésimo (Guy 1994, p. 203; Erdős 1998; Finch 2003, según MathWorld de Eric Weisstein).

Answer 5

Este es un problema acerca de la convergencia de un cierto tipo de medidas, Estoy algo familiarizado con, que aún no se ha demostrado:

Deje $$ T = \sum_{j=1}^k Q_j \frac{d^j}{dx} $$ con $\deg Q_j\leq j$ con igualdad para al menos uno de los $j,$ pero $\deg Q_k < k.$ No son exclusivos de monic eigenpolynomials $p_n$ de cada uno de los grados $n>n_0,$ que es $Tp_n = \lambda_n p_n.$

Deje $d := max_{j \in [j_0,k]} \frac{j-j_0}{j - \deg Q_j}$ donde $j_0$ es el mayor $j$ tal que $\deg Q_j = j,$ y considerar los polinomios $q_n(z)=p_n(n^dz).$

Conjetura: la raíz de las medidas de $\mu_n$ obtenido por la colocación de un punto mas de peso $1/n$ a cada raíz de $q_n$ converge débilmente a una probabilidad de medida $\mu$ con ha un pacto de apoyo en la forma de un árbol.

Referencia: http://su.diva-portal.org/smash/get/diva2:196825/FULLTEXT01