¿Son las categorías de dagas realmente malvadas?

Question

Recordemos que una daga categoría es una categoría equipado con una involución $*:Hom(x,y)\to Hom(y,x)$ que satisface $f^{**}=f$ e $f^* g^*=(gf)^*$. Un ejemplo destacado de una daga categoría es la categoría de los espacios de Hilbert y lineal continua y mapas.

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Ahora, el puñal categorías están mal!
Por ejemplo, he aquí una cita de la Nlab:

"Tenga en cuenta que la considera como un extra de la estructura de categorías, a †-estructura es malo, puesto que impone a las ecuaciones en los objetos."

Esto no es sólo una pequeña cosa. Es un problema filosófico fundamental con la categoría de la teoría: la categoría de la teoría no parece ser capaz de lidiar con esta importante categoría de la teoría relacionados con la noción de que son daga categorías.

También, porque de esta buit-en la maldad, que hay un montón de muy familiarizado conceptos que uno no se puede aplicar a la daga categorías sin necesidad de repensar todo muy, muy cuidadosamente desde el principio: equivalencias, límites, colimits, adjunto functors, duales, álgebra objetos, etc...

He aquí otra cita:

"Es posible que este problema va a forzar un cambio en la forma de pensar en el concepto del principio de equivalencia o de nuestro pensamiento en la teoría cuántica."

y, sin embargo, otro:

"A menudo, los conceptos de violación del principio de equivalencia (como el concepto de "estricta categoría monoidal") tienen equivalencia-invariante homólogos (como el concepto de "categoría monoidal"). Pero en este caso en particular parece ser que no hay manera conocida para expresar la idea, sin ecuaciones entre los objetos".

Ahora aquí está mi pregunta:

Pregunta: se Puede mejorar el anterior "parece ser que no hay manera conocida para expresar la idea, sin ecuaciones entre los objetos" a "no hay manera de expresar la idea sin ecuaciones, entre los objetos"?

Espero daga categorías para ser realmente mal (en algunos que aún no han definido el sentido técnico de "el mal"). Tener una prueba de que la realidad podría ser muy informativo, y por lo menos nos obligan a definir el término "mal" en un nivel de matemáticas de precisión.

Answer 1

Voy a tener otra oportunidad en argumentando que la daga-categorías no el mal.

Veamos un caso más sencillo en primer lugar. Considerar la propiedad "$1 \in X$" sobre los conjuntos. Como una propiedad de resumen de los conjuntos, este es el mal: no es invariante bajo isomorfismo, por ejemplo, cualquier iso $\{1,2\} \cong \{2,3\}$.

Pero es manifiestamente no el mal como una propiedad de, digamos, "establece equipado con una inyección de a $\mathbb{N}$". Mirando esto le da un no-mal de la estructura abstracta de conjuntos: "una inyección de $i : X \to \mathbb{N}$, de tal manera que $1 \in \mathrm{im}\ i$".

Ah (se puede decir) así que si este no es el mal, no puede reflejar la idea original correctamente: tendría que transferir a lo largo de ese $\{1,2\} \cong \{2,3\}$. Pero eso no es tan clara o queja. Como una estructura abstracta de conjuntos, se hace la transferencia a lo largo de ese isomorfismo. Pero estábamos pensando en ellos desde el principio, no sólo como resumen conjuntos, pero como subconjuntos de $\mathbb{N}$, es decir, como ya equipado implícitamente con inyecciones de a $\mathbb{N}$. Se considera como tal, uno de ellos contiene $1$ y el otro no; y no hay isomorfismo entre ellos que conmuta con las inyecciones.

Resumiendo: "que contiene 1" es, ciertamente, no el mal como una propiedad de "conjuntos con un mono a $\mathbb{N}$". Esto induce a un no-mal de la propiedad/estructura abstracta de juegos, que puede o no estar de acuerdo coincide con nuestra idea original, porque requiere considerar diferentes monos a $\mathbb{N}$, además de los que ya estábamos (implícitamente) el pensamiento de.

Ahora, de vuelta a la daga-categorías. Parece razonable que la daga-categorías son malos cuando se considera como la estructura de categorías. El post by Pedro Selinger vinculado por Simon Henry sostiene esta bastante convincente: prueba específica de un no-go teorema, mostrando que no puede existir ninguna noción de la daga de la estructura de satisfacer ciertas propiedades deseables.

Sin embargo, la estructura de categorías no es la única manera de ver la daga-categorías. Se puede en lugar de ser visto como una estructura en "pares de categorías conectados por una fiel y esencialmente surjective functor $i : \mathbf{C}_u \to \mathbf{C}$". (Definición completa a continuación).

Usted puede estar pensando: "esto no puede ser correcto, ya que induce a un no-mal de la estructura de categorías ("equipar con un totalmente fieles inclusión de alguna otra categoría, y entonces el puñal-estructura") que viole Selinger no vaya argumento. Sin embargo, no: esta estructura no permite una definición unitaria de los mapas en el sentido de Selinger del argumento asume. Dado $A, B \in \mathbf{C}_u$, se puede decir que un mapa de $iA \to iB$ es unitaria si es la imagen de un mapa de $A \to B$. Pero dado que sólo $A, B \in \mathbf{C}$, este unitariness no está bien definido para $f : A \to B$; las diferentes formas de expresar $A$ as $iA'$ e $B$ as $iB'$ podría dar respuestas diferentes en cuanto a si $f$ es unitaria.

Se expresa en esta forma, la transferencia de los "débiles daga de estructura" en la $\mathbf{fdHilb}$ a lo largo de la equivalencia a $\mathbf{fdVect}$ produce un débil daga de la estructura donde el functor $i$ no es inyectiva sobre los objetos. Selinger del argumento muestra que algo como esto es inevitable.

Resumiendo de nuevo: daga de la estructura no es, ciertamente, el mal cuando se ve como una estructura en "categorías con un distinguido fieles, ess. surj. la inclusión". Esto da una definición de la debilidad de la daga de la estructura como un no-mal de la estructura de categorías, que puede o no puede aceptar, porque nos obliga a aflojar original nuestra expectativa de que la "subcategoría" unitaria de los mapas debe ser, literalmente, bijective sobre los objetos, es decir, ir más allá de la clase de "subcategorías" estábamos originalmente pensando.

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Definición: un débil daga categoría puede ser tomado a consistir en:

• una categoría $\newcommand{\C}{\mathbf{C}}\C$;
• un groupoid $\C_u$, con un fiel y esencialmente surjective functor $i : \C_u \to \C$;
• un functor $\dagger : \newcommand{\op}{\mathrm{op}}\C^\op \to \C$;
• un isomorfismo natural $\varphi : \dagger \cdot i^\op \cong i \cdot (-)^{-1} : \C_u^\op \to \C$;
• un isomorfismo natural $\psi : \dagger \cdot \dagger^\op \cong 1_\C$;
• tal que para todo $A \in \C_u$, $\psi_{iA} = \varphi_A (\varphi_{A}^\dagger)^{-1} : (iA)^{\dagger \dagger} \to iA$, o, equivalentemente, como natural transformaciones, $\psi \cdot i = (\varphi \cdot (-)^{-1})(\dagger \cdot \varphi^\op)^{-1} : \dagger \cdot \dagger^\op \cdot i \to i$;
• y tal que para cualquier $A, B \in \C_u$, la imagen de $\C_u(A,B) \to \C(iA,iB)$ se compone de todos los $u$ tal que $\varphi_A \cdot u^\dagger \cdot \varphi_B^{-1}$ 2-cara inversa para $u$.

Dado esto, yo reclamo:

1. cada componente es "sin maldad" de la estructura de los componentes anteriores (esto puede ser hecho preciso como un levantamiento de la propiedad para los olvidadizos functors entre 2-categorías);
2. estricto de la daga categorías son precisamente débil daga categorías que $i$ es bijective sobre los objetos y el $\varphi_A = 1_{iA}$ para todos los $A \in \C_u$;
3. dado cualquier débiles daga gato con $i$ bijective en los objetos, uno puede modificar $\dagger$, $\varphi$, y $\psi$ para obtener una estricta daga-estructura, equivalente a la original, con la equivalencia de actuar trivialmente en $\C$, $\C_u$, y $i$;
4. por lo tanto, dada una categoría $\C$ equipada con un distinguido de todos los objetos subgroupoid $\C_u$, "estricto de la daga estructuras en $\C$ con unitaries $\C_u$" corresponden a los "débiles daga estructuras en $\C_u \to \C$"; por lo estricto de la daga estructura no es el mal, como una estructura en "los gatos con un distinguido de todos los objetos subgroupoid";
5. si dejamos caer el último componente de la definición, nosotros del mismo modo obtener un no-mal de la estructura de "estricta daga estructuras en $\C$ con unitaries, incluyendo al menos $\C_u$";
6. dado cualquier débiles daga cat $\C$, hay un equivalente estricto, con el mismo unitaria categoría $\C_u$, pero con un nuevo ambiente categoría dada por los objetos de $\C_u$ con los morfismos de $\C$. Así que, en general, débil daga categorías no nos dan nada esencialmente diferente de la estricta queridos.

(Estoy bastante seguro de que estoy recordando la mayoría de las ideas aquí desde algún lugar, pero no puedo encontrar donde. El más cercano que encuentro es este post por Mike Shulman en esa misma lista de categorías de hilo. Mejores referencias muy bienvenida.)

Answer 2

Juan del Perdón del invariante de la versión de $\dagger$-categoría es muy bueno, pero desgraciadamente no es la captura de los ejemplos. Específicamente en la categoría de Hilbert espacios no tienen esta estructura.

Hay un problema en la toma de la isomorphisms como $s \circ \dagger_* \cong t$ natural. Un isomorfismo natural da el componente de morfismos $$\phi_y: y^\dagger \cong y$$ para cada objeto $y \in \mathcal{C}$ (bueno, más correctamente, para cada objeto de la flecha categoría $Fun(\Delta^1, \mathcal{C})_{isom}$, pero se puede restringir a la identidad flechas).

El punto es que para que esto sea natural de ciertas plazas para viajar.

Supongamos que tenemos una de morfismos en $Fun(\Delta^1, \mathcal{C})_{isom}$. Tal morfismos es una propiedad conmutativa de la plaza en $\mathcal{C}$, donde los lados son isomorphisms. La aplicación de la functor $t$ a esta plaza nos da un isomorfismo en $\mathcal{C}$: $$h: y \to y'$$ La aplicación de la functor $s \circ \dagger_*$ nos da $$ (h^\dagger)^{-1}: y^\dagger \to (y')^\dagger $$ Tenga en cuenta que tuvimos que tomar un inverso aquí, que es por qué hemos tenido que restringir a la invertible morfismos entre las flechas en el primer lugar.

En particular, echemos un vistazo a las plazas (que yo.e morfismos de $Fun(\Delta^1, \mathcal{C})_{isom}$) que van desde las $id_y$ a $id_y$. Entonces vemos que en este caso $h: y \cong y$ es un automorphism (y determina la plaza). Connaturalidad nos da la ecuación: $$(h^\dagger)^{-1} = \phi_y^{-1} \circ h \circ \phi_y$$ Así que esto significa que la toma de daga-inversa de automorfismos es implementado por la conjugación de un fijo isomorfismo!

Esto no es satisfecho por la categoría de los espacios de Hilbert, el principal ejemplo. En ese caso $\dagger$ es en realidad la identidad en todos los objetos, pero que no es posible la elección de $\phi_y$ que funciona. Tal $\phi_y$ tendría que conmuta con todos los unitaria endomorphisms, y por lo tanto tiene que ser un múltiplo de la identidad. Pero entonces la ecuación anterior significaría que cada invertible morfismos ya era unitaria, una contradicción. Para la categoría de Hilbert espacios de no apoyar la propuesta, manifiestamente invariante, es decir, no mal), noción.

Answer 3

En mi opinión, el puñal categorías no son malos, pero no son categorías con extra de la estructura (en el sentido ordinario) tampoco. (Creo que esto es lo que Qiaochu Yuan significa en su comentario.) Más específicamente, yo no creo que de $\dagger$ como un functor. Permítanme hacer una comparación.

En algún universo paralelo, la gente empezó a estudiar "ategories", antes de que estudió categorías. Ategories son como las categorías, pero sin composición. Es decir, un pequeño ategory $\mathcal{A}$ se compone de un conjunto de objetos de $\operatorname{ob} \mathcal{A}$ y un conjunto de morfismos $\operatorname{mor} \mathcal{A}$ con la fuente y el destino de los mapas de $s, t\colon \operatorname{mor} \mathcal{A} \to \operatorname{ob} \mathcal{A}$.

Ahora, de repente la gente empieza a considerar la composición de morfismos, $-\circ-\colon \operatorname{mor} \mathcal{A} \times_{s,t} \operatorname{mor} \mathcal{A} \to \operatorname{mor} \mathcal{A}$. Y que la demanda que $g \circ f$ tiene el mismo origen del objeto como $f$, en la nariz! Cómo se atreven ellos, eso es un mal concepto! Tal vez algunas otras personas tratan de encontrar una versión debilitada de la composición, pero no, o sus resultados no son tan satisfactorios como se esperaba.

El punto es, que no tiene que pensar en una categoría como un ategory con una pieza adicional de la estructura global. Uno debe pensar en los morfismos como un conjunto $\mathcal{A}(X,Y)$ para cualquiera de los dos objetos de $X, Y \in \operatorname{ob} \mathcal{A}$, y de la composición como un mapa de $-\circ_{X,Y,Z}-\colon \mathcal{A}(Y,Z) \times \mathcal{A}(X,Y) \to \mathcal{A}(X,Z)$ por cada triple de los objetos de $X,Y,Z \in \operatorname{ob} \mathcal{A}$.

Esta comparación puede ser muy artificial, lo admito. Pero vamos a intentar traducir la lección de la daga estructuras.

Definición: Una pequeña daga categoría $\mathcal{C}$ se compone de:

• Un conjunto $\operatorname{ob} \mathcal{C}$
• $\forall X,Y \in \operatorname{ob} \mathcal{C}$, un conjunto $\mathcal{C}(X,Y)$
• $\forall X,Y,Z \in \operatorname{ob} \mathcal{C}$, un mapa de $-\circ_{X,Y,Z}-\colon \mathcal{A}(Y,Z) \times \mathcal{A}(X,Y) \to \mathcal{A}(X,Z)$
• $\forall X \in \operatorname{ob} \mathcal{C}$, un elemento $1_X \in \mathcal{A}(X,X)$
• $\forall X,Y \in \operatorname{ob} \mathcal{C}$, un mapa de $\dagger_{X,Y}\colon \mathcal{C}(X,Y) \to \mathcal{C}(Y,X)$
• la satisfacción de ciertos axiomas que todos ustedes saben.

Daga categorías generalizar involutiva monoids de la misma manera groupoids generalizar grupos.

Línea de base: En mi opinión, el puñal estructuras son el mismo tipo de estructura como "la composición de las estructuras". La definición natural es pointwise y la igualdad en los objetos surge como una tipificación de restricción. Lo que pasa es que uno puede ver como functors así, y que la definición es el mal. Pero la definición natural está perfectamente bien, y la terminología de "el mal" no se aplica.

Answer 4

Como Dije en un comentario anterior, Pedro Selinger publicado hace un par de años en la categoría de teoría de la lista de definición de una "no-mal de la estructura" y demostró que no hay manera razonable de hacer de la noción de la daga categorías en tal noción. Su mensaje se puede encontrar aquí.

El núcleo del argumento, como yo lo entiendo, es que si usted tiene una equivalencia de la categoría $F :C \rightarrow D$ tal que $D$ es una Daga categoría, no hay una forma única de hacer $C$ en una Daga categoría que $F$ es compatible con la daga de la estructura, pero la débil inversa de $F$ no es necesario ser compatible con la daga de la estructura. Esto no es algo aceptable para una estructura que puede ser definida usando sólo puramente "categórica noción".

El ejemplo típico de esto es el olvido functor $F$ desde finito dimensional espacio de Hilbert a lo finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$.

Es una categoría de equivalencia, por lo que si se toma una débil inversa ponga una daga de la estructura en la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales, pero esta estructura no es nunca* va a ser compatible con la daga de la estructura.

*: con el juego habitual teórico de la definición, al menos.

Answer 5

¿Qué acerca de la siguiente definición de $\dagger$-categorías (que no se ve mal, al menos a mis ojos inexpertos).

Un $\dagger$-estructura en $\mathcal C$ se compone en primer lugar de un functor $\dagger:\mathcal C\to\mathcal C^{op}$ con un isomorfismo natural $\dagger\circ\dagger=\operatorname{id}_{\mathcal C}$. Ahora sólo tenemos que averiguar cómo el estado "es la identidad en objetos" en un no-mal camino.

Para cualquier categoría de $\mathcal C$, vamos a denotar por $\mathcal C_{iso}$ la subcategoría de $\mathcal C$ tomando sólo isomorphisms como morfismos (es decir, $\mathcal C\mapsto\mathcal C_{iso}$ es el derecho medico adjunto a la inclusión de groupoids en todas las categorías).

Ahora considere el $\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal C)_{iso}$, con sus dos olvidadizo functors $s,t:\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal C)_{iso}\to\mathcal C_{iso}$. Un functor $\dagger:\mathcal C\to\mathcal C^{op}$ induce un pushforward: $$\dagger_\ast:\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal C)_{iso}\to\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal C^{op})_{iso}=\operatorname{Fun}((\Delta^1)^{op},\mathcal C)_{iso}=\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal C)_{iso}$$ Ahora podemos especificar natural isomorphisms:

1. $s\circ\dagger_\ast\xrightarrow\sim t$

2. $t\circ\dagger_\ast\xrightarrow\sim s$

con el siguiente coherencia condiciones:

1. La composición de la $s\circ\dagger_\ast\circ\dagger_\ast\xrightarrow\sim t\circ\dagger_\ast\xrightarrow\sim s$ debe estar de acuerdo con el mapa de $s\circ\dagger_\ast\circ\dagger_\ast\xrightarrow\sim s$ proveniente de la natural isomorfismo $\dagger\circ\dagger=\operatorname{id}_{\mathcal C}$.

2. Lo mismo con $s$ e $t$ invertido.

¿Hay alguna razón por la que este (o alguna pequeña modificación de la misma), no vas a trabajar?