¿Cuáles son algunos problemas abiertos en geometría algebraica?

Question

¿Cuáles son los grandes problemas abiertos en geometría algebraica y en haces vectoriales?

Más específicamente, me gustaría saber cuáles son los problemas interesantes relacionados con los espacios de móduli de haces vectoriales sobre variedades/curvas proyectivas.

Answer 1

Algunos de los más obvios:

* Resolución de singularidades en característica p
*Conjetura de Hodge
* Conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos (aunque estas no son tan urgentes ya que Deligne probó las conjeturas de Weil).
*Demostrar la generación finita del anillo canónico para tipos generales solía estar abierto aunque creo que recientemente se resolvió; no estoy seguro de los detalles.

Para fibrados vectoriales, un problema abierto de larga data es la clasificación de fibrados vectoriales sobre espacios proyectivos.

(Añadido más tarde) Un problema antiguo importante es el de encontrar cuáles espacios modulares de curvas son uniracionales. Es clásico que el espacio modular sea unirracional para géneros de a lo sumo 10, y creo que esto ha sido extendido más recientemente a géneros cerca de 13. Mumford y Harris mostraron que es de tipo general para géneros de al menos 24. Hasta donde sé, la mayoría de los casos restantes siguen abiertos.

Answer 2

La conjetura de Jacobian

Answer 3

Permítanme mencionar un par de problemas relacionados con los haces vectoriales en espacios proyectivos.

1. La conjetura de Hartshorne. En su forma débil dice que cualquier haz vectorial de rango 2 en $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}},n>6$ es una suma directa de haces de línea, lo que implica que cualquier subvariedad suave de codimensión 2 cuya clase canónica sea un múltiplo de la sección hiperplana es una intersección completa. En una forma más fuerte, la conjetura de Hartshorne dice que cualquier subvariedad de codimensión $>\frac{2}{3}n$ de $\mathbf{P}^n_{k},k$ un campo algebraicamente cerrado es una intersección completa. Ver Hartshorne, Varieties of small codimension in a projective space, Bull AMS 80, 1974. La conjetura débil falla para $n=3$ y $4$ -- existen ejemplos (debidos a Horrocks y Mumford) de haces vectoriales no descompuestos de rango 2 en $\mathbf{P}^4_{\mathbf{C}$, pero hasta donde yo sé, la pregunta si existen ejemplos de este tipo para $n>4$ está abierta. Ver aquí Evidencias sobre la conjetura de Hartshorne? ¿Referencias? para una discusión que incluye algunas referencias.

2. La existencia de haces vectoriales topológicos no algebraicos en $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}$. Es un resultado clásico que cualquier haz vectorial complejo topológico en $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}, n\leq 3$ es algebraico, ver por ejemplo Okonek, Schneider, Spindler, Vector bundles on complex projective spaces, capítulo 1, \S 6. Se sospecha fuertemente que para $n>3$ existen haces vectoriales complejos topológicos que no son algebraicos. Buenos candidatos son haces vectoriales de rango 2 no triviales en $\mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}, n\geq 5$ cuyas clases de Chern se anulan, que fueron construidos por E. Rees, ver MR0517518. Se afirma en ese trabajo que estos haces no admiten una estructura holomorfa, pero luego se encontró una laguna en la prueba. Ver aquí Haces vectoriales complejos que no son holomorfos para obtener más información.

Answer 4

Conjetura de Linearización. Toda acción algebraica de $\mathbb{C}^*$ en $\mathbb{C}^n$ es lineal en algunas coordenadas de $\mathbb{C}^n. Abierto para $n>3$.

Conjetura de Cancelación. Si $X\times \mathbb{C}\cong \mathbb{C}^{m+1}$ entonces $X\cong \mathbb{C}^m. Abierto para $m>2$.

Conjetura de Coolidge-Nagata. Una curva cúspide racional en $\mathbb{P}^2$ es rectificable, es decir, existe un automorfismo birracional de $\mathbb{P}^2$ que transforma la curva en una línea.

Answer 5

También está la gran pregunta abierta (creo que aún está abierta) sobre si las variedades racionalmente conectadas son siempre unirracionales. Creo que la gente cree que la respuesta es NO, pero no conocen un ejemplo.

Joe Harris tenía algunas diapositivas hace unos años al respecto de esto Seattle 2005