Aquí hay tres más elementales cuyos resultados más naturales de la prueba implica la $p$-ádico ideas. Todos los tres se pueden encontrar en Cassels' libro sobre los Campos Locales (edición mencionado por Laurent Berger en un comentario).
La primera es Witt de la prueba del teorema de Clausen y von Staudt en el Capítulo 1. No requiere nada más que la definición de la $p$-ádico valoraciones; la idea es que el $a\in{\bf Q}$ es de ${\bf Z}$ si $a\in{\bf Z}_p$ por cada prime $p$.
La segunda dice que el orden de cada subgrupo finito $G\subset{\mathrm GL}_n({\mathbf Q})$ divide
$$
\prod_l l^{\beta(l)}
$$
donde $l$ ejecuta a través de los números primos y
$$\beta(l)=\lfloor n/(l-1)\rfloor+\lfloor n/l(l-1)\rfloor+\lfloor n/l^2(l-1)\rfloor+\cdots
$$
para $l\neq2$ e $\beta(2)=n+2\lfloor n/2\rfloor+\lfloor n/2^2\rfloor+\lfloor n/2^3\rfloor+\cdots$. Ver Teorema 2.1 en el Capítulo 4.
El tercero es un teorema de Selberg que dice que cada finitely generado subgrupo $G\subset{\mathrm GL}_n(k)$, donde $k$ es un campo de caracteres $0$, contiene una normal torsionfree subgrupo de índice finito. Ver Teorema 4.1 en el Capítulo 5.
Tenga en cuenta, finalmente, que el (Skolem)-Mahler-Lech es el teorema Teorema 5.1 en el mismo capítulo.
Adenda. Puesto que ya había TeXed Witt prueba para mis Notas, es fácil de reproducir aquí :
Teorema (von Staudt--Clausen, 1840)
Deje $k>0$ ser un entero par, y deje $l$ ejecutar a través de los números primos. A continuación, el
número de
$$
(1)\quad\quad\quad W_k=B_k+\sum_{l-1|k}{1\over l}
$$
es siempre un número entero. Por ejemplo, $\displaystyle
W_{12}=B_{12}+{1\over 2}+{1\over3}+{1\over5}+{1\over7}+{1\over 13}=1$.
[Los Británicos analista de Hardy dice en sus Doce conferencias
(p. 11) que este teorema fue redescubierto por Ramanujan `en un
tiempo de su vida, cuando él apenas había formado definido el concepto de
la prueba".]
Prueba (Witt) : La idea es mostrar que $W_k$ es $p$-ádico entero
para cada prime $p$. Más precisamente, nos muestran que la $B_k+p^{-1}$ (resp. $B_k$)
es una $p$-ádico entero si $p-1|k$ (resp. si no lo está).
Para un entero $n>0$, vamos a $S_k(n)=0^k+1^k+2^k+\cdots+(n-1)^k$. La comparación de la
los coeficientes en los dos lados de
$$
1+e^T+e^{2}+\cdots+e^{(n-1)T}={e^{nT}-1\T sobre}{T\a través de e^T-1},
$$
tenemos $\displaystyle S_k(n) =\sum_{m\[0,k]}{k\elegir m}{B_m\más
k+1-m}n^{k+1-m}$. To recover $B_k$ from the $S_k(n)$, es tentador
tomar el límite de $\displaystyle\lim_{n\to0}S_k(n)/n$, lo que no tiene sentido
en la arquímedes mundo. Sin embargo, si tomamos $n$ ejecutar a través de los poderes
$p^s$ de una prima fija $p$, a continuación, $p$-adically, $p^s\to0$ as $s\to+\infty$,
y
$$
(2)\quad\quad\quad\lim_{s\a+\infty}S_k(p^s)/p^s=B_k.
$$
Comparemos $S_k(p^{s+1})/p^{s+1}$ con $S_k(p^s)/p^s$. Cada
$j\in[0,p^{s+1}[$ puede ser el único escrito como $j=up^s+v$ donde $u\in[0,p[$ y
$v\in[0,p^s[$. Ahora,
$$
\eqalign{
S_k(p^{s+1})
&=\sum_{j\[0,p^{s+1}[}j^k=\sum_{u\[0,p[}\sum_{v\[0,p^s[}(hasta^s+v)^k\cr
% &\equiv p\left(\sum_{v\[0,p^s[}v^k\right)
% +kp^s\left(\sum_{u\[0,p[}u\sum_{v\[0,p^s[}v^{k-1}\right)
% \pmod{p^{2}}\cr
&\equiv p\left(\sum_v v^k\right)
+kp^s\left(\sum_u u\sum_v v^{k-1}\right)\pmod{p^{2}}\cr
}$$
por el teorema del binomio. Como $\sum_{v}v^k=S_k(p^s)$ y
$2\sum_uu=p(p-1)\equiv0\pmod p$, obtenemos
$$
S_k(p^{s+1})\equiv pS_k(p^s)\pmod{p^{s+1}},
$$
donde, por $p=2$, el hecho de que $k$ es incluso ha sido utilizado. Dividiendo
todo por $p^{s+1}$, esto se puede expresar diciendo que
$$
{S_k(p^{s+1})\sobre p^{s+1}}-{S_k(p^s)\sobre p^s}\in{\mathbf Z}_{(p)}
$$
es una $p$-ádico entero, y por lo tanto
$$
{S_k(p^r)\sobre p^r}-{S_k(p^s)\sobre p^s}\en Z_{(p)}
$$
para cualesquiera dos enteros $r>0$, $s>0$, desde ${\mathbf Z}_{(p)}$ es un sub-anillo de $\mathbf Q$.
La fijación de $s=1$ y dejando $r\to+\infty$, podemos ver que $B_k-S_k(p)/p\in{\mathbf Z}_{(p)}$,
en vista de $(2)$. Necesitamos un
Lema.
$S_k(p)=\sum_{j\in[1,p[}j^k$ es $\equiv-1\pmod p$ si $p-1|k$ y
$\equiv0\pmod p$ lo contrario.
Esto es claro si $p-1|k$. Supongamos que no, y vamos a $g$ ser un generador de
$({\mathbf Z}/p{\mathbf Z})^\times$. Tenemos $g^k-1\not\equiv0$, mientras que
$$
(g^k-1)\left(\sum_{j\in[1,p[}j^k\right)
\equiv (g^k-1)\left(\sum_{t\[0,p-1[}g^{tk}\right)
\equiv g^{(p-1)k}-1\equiv0.
$$
De ello se desprende que $B_k+p^{-1}\in{\mathbf Z}_{(p)}$ si $p-1|k$ e $B_k\in{\mathbf Z}_{(p)}$
de lo contrario. En cualquier caso, el número de $W_k$ (1), que puede ser escrito como
$$
W_k=\casos{
(B_k+p^{-1})+\sum_{l\neq p l}^{-1}&\hbox{si }p-1|k\cr
(B_k)+\sum_l l^{-1}&\hbox{en caso contrario},\cr
}$$
(donde $l$ se ejecuta a través de los números primos para que $l-1|k$) resulta ser un
$p$-ádico entero para cada prime $p$. Por lo tanto $W_k\in{\mathbf Z}$, como se reivindica.
