Una condición que implica la conmutatividad

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. Un teorema notable de N. Jacobson establece que si la identidad $x^{n}=x$ es válida para cada $x \in R$ y un fijo $n \geq 2$ entonces $R$ es un anillo conmutativo.

La prueba del resultado para los casos $n=2, 3,4$ es el tema de varios ejercicios conocidos en Herstein 's Temas de Álgebra . Las pruebas correspondientes se basan en gran medida en manipulaciones "elementales". Por ejemplo, la prueba del caso $n=3$ puede hacerse de la siguiente manera:

1) Si $a, b \in R$ son tales que $ab= 0$ entonces $ba=0$ .

2) $a^{2}$ y $-a^{2}$ pertenecen a $\mathbf{Z}(R)$ por cada $a \in R$ .

3) Ya que $(a^{2}+a)^{3} = (a^{2}+a)^{2}+(a^{2}+a)^{2}$ se deduce que

$a=a+a^{2}-a^{2} = (a+a^{2})^{3}-a^{2} = (a^{2}+a)^{2}+(a^{2}+a)^{2}-a^{2}$

y de ahí el resultado.

Ciertamente, la mente no puede dejar de aturdirse ante la concisión de la solución anterior. En realidad, es la concisión de este argumento lo que me ha llevado a plantear la presente pregunta: ¿es posible una demostración análoga del teorema general? El que aparece en [ 1 ] depende de algunos teoremas de estructura no triviales para anillos de división.

Como siempre, os agradezco de antemano vuestras acertadas respuestas, sugerencias de lectura, enlaces web, etc.

Referencias

[ 1 ] I. N. Herstein, Anillos no conmutativos The Carus Mathematical Monographs, nº 15, Mathematical Association of America, 1968.

[ 2 ] I. N. Herstein, Álgebra Moderna, Ed. Trillas, págs. 112, 119 y 153.

Answer 1

Para los fijos $n \in \mathbb{N}$ El teorema de exhaustividad de Birkhoff implica que tal prueba debe existir en la teoría ecuacional de primer orden de los anillos - como mencioné aquí en un reciente Correo electrónico: . Hace muchos años Stan Burris me dijo que John Lawrence descubrió una prueba ecuacional que funciona uniformemente para todos $n$ (posiblemente también para la forma de Jacobson $x^{n(x)} = x$ ). No sé si la prueba se ha publicado ya, pero algunas pistas sobre cómo puede proceder pueden extraerse de su anterior articulación trabajo [1]

1 S. Burris y J. Lawrence, Term rewrite rules for finite fields.
International J. Algebra and Computation 1 (1991), 353-369. http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/MYWORKS/PAPERS/fields3.pdf