¿Es cierto el teorema de Green-Tao para los primos dentro de una determinada progresión aritmética?

Question

Ben Green y Terrence Tao demostraron que existen progresiones aritméticas de longitud arbitraria entre los primos.

Ahora, consideremos una progresión aritmética con término inicial $a$ y la diferencia común $d$ . Según el teorema de Dirichlet (convenientemente reforzado), los primos están "igualmente distribuidos" en cada clase de residuo módulo $d$ . Por lo tanto, imaginamos que el teorema de Green-Tao debería seguir siendo cierto si en lugar de los primos consideramos sólo aquellos primos positivos que son congruentes con $a$ modulo $d$ . Es decir, el teorema de Green-Tao es cierto para los primos dentro de una progresión aritmética dada.

Pregunta: ¿Se sabe algo de esta afirmación más fuerte?

Answer 1

El Green-Tao es verdadero para cualquier subconjunto de los primos de densidad relativa positiva; los primos en una progresión aritmética fija al módulo $d$ tienen una densidad relativa $1/\phi(d)$ .