En relativamente mundano, pero intensamente útil y práctica, las formas, la ingenua a la categoría de teoría de la actitud para caracterizar a las cosas por sus interacciones con otras cosas, más que a construir (sin dejar que en lo que el objetivo es que hasta después de una secuencia de misterioso lemas), es enormemente útil para mí.
E. g., fue una revelación, por ahora, hace muchos años, para ver que la topología en el espacio de funciones de prueba fue un colimit (de Frechet espacios). Por supuesto, L. Schwartz ya han trabajado en esos términos, sino que, incluso hoy en día, pocos "introductorio de análisis funcional" libros mencionar tal cosa. Yo estaba desconcertado por algún tiempo por Rudin la "definición" de la topología en las funciones de prueba, hasta que poco a poco me di cuenta de que él estaba construyendo una cosa que iba poco a poco probar fue el colimit, pero, lamentablemente, sin todo bien admitir esto. Es fácil imaginar que era el suyo, y muchos otros", la opinión de que "categórica las nociones" fueron el especial ámbito de competencia de la algebraicas topologists o algebraica de los geómetras, en lugar de ser ampliamente útil.
Del mismo modo, en situaciones en las que un espacio vectorial topológico es, en verdad, un colimit de finito-dimensional, es preocupante-dice a menudo que este colimit "no tiene topología", o "tiene la topología discreta", ... y así que vamos a ignorar la topología. Lo que es cierto es que tiene una única topología (desde finito-dimensional espacios vectoriales sobre no-discretas de la división de los anillos como $\mathbb R$ o $\mathbb C$ do, y el colimit es único, al menos si nos quedamos en una categoría de localmente convexa plana s). También, cada funcional lineal en es continua (!). Pero desde luego no es discreto, porque entonces la multiplicación escalar no ser continua, para una cosa. Pero, a pesar de la prevalencia de innecesariamente inexacta comentarios sobre la topología, el hecho de que todos los lineales de los mapas de ello a cualquier otro de los televisores son continuas en su mayoría le permite a la gente "conseguir" independientemente.
Espacios con topologías dada por las colecciones de semi-de las normas (proyectivas/filtrado) los límites de los espacios de Banach. Doctrinario analistas funcionales parecen no decir esto, pero muy bien organiza varios aspectos de la situación. Un importante ejemplo tangible es suave funciones en un intervalo de $[a,b]$, que es el límite de los espacios de Banach $C^k[a,b]$. Sobolev involucración muestra que el (positiva en el índice) $L^2$ espacios de Sobolev $H^s[a,b]$ son {\es cofinal} con el $C^k$'s, por lo que tienen el mismo límite: $H^\infty[a,b]\approx C^\infty[a,b]$, y tal.
Todo muy mundano, pero aclarando.
[Modificar:], en Parte en respuesta a @Yemon Choi comentarios... tal vez hoy en día "analistas funcionales" ya no descuidar práctica nociones categóricas, pero sin duda Rudin y Dunford-Schwartz "clásicos" así lo hizo. Me doy cuenta de que, en retrospectiva, que esto se podría haber algunos "anti-Bourbachiste" de la reacción. Peter Lax, que de lo contrario muy útil relativamente reciente libro no hace uso de ningún categórica nociones. Sin duda Riesz-Nagy no. Eli Stein y co-autor de diversos libros sobre análisis armónico no hablar en tales términos. Todo esto a pesar de L. Schwartz y Grothendieck publicaciones del uso de este lenguaje en la década de 1950. Yosida? Hormander?
Tengo una copia de Helemskii del libro, y es impresionante, por comparación, en su uso de los conceptos. Tal vez un poco demasiado formal-categórica para mi gusto, pero esto no es una reseña de un libro. :)
He tratado de incorporar un caracterizar el-lugar-de-construcción de actitud en mi análisis funcional de las notas, y las formas modulares notas, la Mentira de la teoría de notas, y en mis notas de álgebra, demasiado. Curiosamente, a pesar de que, incluso en el último caso (con la categoría "teoría" de alguna manera que tradicionalmente se obligaba como "álgebra") que describen un "indeterminado" $x$ en un polinomio anillo de $k[x]$ como sólo una parte de la descripción de un "libre de álgebra en un generador" es típicamente visto (por los estudiantes) como una extravagancia innecesaria. Esto a pesar de mi intento de desacreditar la más débil de las nociones de "indeterminado" o "variable". El supuesto de partición de las matemáticas en "álgebra" y "análisis" y "geometría" y "fundaciones" parece tener un desafortunado de apelación para los principiantes, tal vez como bálsamo para los sentimientos de inadecuación, ofreciendo una excusa para la ignorancia o limitaciones?
Para ser justos (!?!), podríamos suponer que algunos de los sabores genuinamente preferir lo que "nosotros" se percibe como torpe, irrelevante-detalle cargado de descripciones, y, recíprocamente, que podrían describir como "nuestro" punto de vista, como haber perdido el contacto con los detalles concretos (incluso aunque yo no estoy de acuerdo).
Tal vez no es completamente racional. :)
