Sólo aprovecho una rápida oportunidad para compartir lo que un prisma es, y por qué se llama así (como aprendí de Lars Hesselholt). Toda la teoría se desarrolla relativamente a un primo fijo $p \in \mathbb{N}$ .
Un prisma es una pareja $((A,\delta),I)$ donde $A$ es un anillo conmutativo con unidad, $\delta \colon A \to A$ es un teoría de conjuntos mapa y $I \subseteq A$ es un ideal. Además, uno se pregunta lo siguiente:
- la pareja $(A,\delta)$ es un $\delta$ -anillo es decir $\delta(0) = 0$ , $\delta(1) = 1$ y $$ \begin{align*} \delta(x+y) &= \delta(x) + \delta(y) - \sum_{j = 1}^{p - 1} \frac{1}{p} \binom{p}{j} x^j y^{p - j} \\ \delta(x \cdot y) &= x^p \delta(y) + y^p \delta(x) + p \delta(x) \delta(y) \end{align*}. $$ Esto implica que el mapa $\phi_{\delta} \colon A \to A$ definido por $\phi_{\delta}(x) := x^p + p \cdot \delta(x)$ es un mapa de anillo que eleva el mapa de Frobenius $A/p \to A/p$ ;
- el ideal $I$ define un divisor de Cartier dentro de $\operatorname{Spec}(A)$ es decir, existe un $A$ -submódulo $J \subseteq (A \setminus \operatorname{ZD}(A))^{-1} A$ tal que $I \cdot J = A$ (aquí $\operatorname{ZD}(A)$ denota el conjunto de divisores de cero en $A$ );
- el anillo $A$ se deriva $(p,I)$ -completo, es decir, para cada elemento $f \in p A + I$ y cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $\operatorname{Ext}^n_A(A_f,A) = 0$ , donde $A_f = S_f^{-1} A$ con $S_f = \{f^k\}_{k \in \mathbb{N}}$ (véase el Proyecto Stacks, 091N );
- $p \in I + \phi_{\delta}(I) \cdot A$ .
La razón por la que se define una estructura tan extraña es porque la presencia del mapa $\phi_{\delta}$ y el ideal $I$ permiten "descomponer" el complicado ideal $p \cdot A$ (es decir, la luz blanca) en los ideales $\phi_{\delta}^n(I) \cdot A$ (es decir, los colores del arco iris), que son más sencillos de estudiar.
Esto se puede resumir en la siguiente imagen que representa el hecho de que $\operatorname{Spec}(A/p) \subseteq \bigcap_n \operatorname{Spec}(A/\phi_{\delta}^n(I) \cdot A)$ .
La razón por la que esta idea es tan poderosa es que proporciona una "codificación algebraica" de la teoría de los espacios perfectoides. Más concretamente, existe una equivalencia entre la categoría de prismas perfectos (es decir, prismas tales que $\phi_{\delta}$ es un isomorfismo) y anillos perfectoides (véase el teorema 3.9 en el preprint de Bhatt y Scholze). Como ya se ha dicho, esto permite a Bhatt y Scholze definir un sitio prismático, a partir del cual definen la cohomología prismática, que es comparable (en varios sentidos "integrales") a la mayor parte de la teoría de cohomología que puede definirse en $p$ -esquemas de la adicción.
Como referencia final para las partes de THH del documento de Bhatt y Scholze (y mucho más), sugiero esta encuesta por Lars Hesselholt y Thomas Nikolaus.
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Creo que esta es una buena pregunta. Hay un voto de cierre por ser "demasiado amplio", pero creo que es saludable que las ideas clave (que no son fáciles de transmitir en un formato más formal) se difundan más allá del pequeño círculo de personas en contacto con los actores principales.
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Creo que la pregunta que se pretende formular es mejor y más apropiada para MathOverflow. Esta pregunta pretendida es "¿Cuál es un buen elevator pitch que no sólo transmita algunas ideas y aplicaciones de la cohomología prismática, sino que pueda inspirarme a mí y a otros a estudiar y dilucidar más el tema?". Gerhard "Me gustaría ver la respuesta prevista" Paseman, 2019.01.06.
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@GerhardPaseman Gracias por la sugerencia. Lo mejor sería que varias personas dieran varias respuestas en función de cómo interpreten la pregunta. La totalidad de las interpretaciones aportará beneficios al post.
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Terrance Tao ha escrito una entrada en su blog sobre este tema después de un Ciclo de conferencias de Peter Scholze .