56 votos

¿Qué es la cohomología prismática?

La cohomología prismática es una nueva teoría desarrollada por Bhatt y Scholze; véase, por ejemplo, estos notas del curso . Por el bien de la comunidad, sería estupendo que se debatiera en este foro la siguiente cuestión:

¿Qué es la cohomología prismática y para qué sirve?

Aparte: Según Drinfeld, el nombre "cohomología prismática" se remonta (en parte) a la imagen utilizada por la banda de rock Pink Floyd para el portada del Lado Oscuro de la Luna. Vea el anuncio correspondiente aquí .

18 votos

Creo que esta es una buena pregunta. Hay un voto de cierre por ser "demasiado amplio", pero creo que es saludable que las ideas clave (que no son fáciles de transmitir en un formato más formal) se difundan más allá del pequeño círculo de personas en contacto con los actores principales.

0 votos

Creo que la pregunta que se pretende formular es mejor y más apropiada para MathOverflow. Esta pregunta pretendida es "¿Cuál es un buen elevator pitch que no sólo transmita algunas ideas y aplicaciones de la cohomología prismática, sino que pueda inspirarme a mí y a otros a estudiar y dilucidar más el tema?". Gerhard "Me gustaría ver la respuesta prevista" Paseman, 2019.01.06.

0 votos

@GerhardPaseman Gracias por la sugerencia. Lo mejor sería que varias personas dieran varias respuestas en función de cómo interpreten la pregunta. La totalidad de las interpretaciones aportará beneficios al post.

27voto

Riccardo Pengo Puntos 351

Sólo aprovecho una rápida oportunidad para compartir lo que un prisma es, y por qué se llama así (como aprendí de Lars Hesselholt). Toda la teoría se desarrolla relativamente a un primo fijo $p \in \mathbb{N}$ .

Un prisma es una pareja $((A,\delta),I)$ donde $A$ es un anillo conmutativo con unidad, $\delta \colon A \to A$ es un teoría de conjuntos mapa y $I \subseteq A$ es un ideal. Además, uno se pregunta lo siguiente:

  • la pareja $(A,\delta)$ es un $\delta$ -anillo es decir $\delta(0) = 0$ , $\delta(1) = 1$ y $$ \begin{align*} \delta(x+y) &= \delta(x) + \delta(y) - \sum_{j = 1}^{p - 1} \frac{1}{p} \binom{p}{j} x^j y^{p - j} \\ \delta(x \cdot y) &= x^p \delta(y) + y^p \delta(x) + p \delta(x) \delta(y) \end{align*}. $$ Esto implica que el mapa $\phi_{\delta} \colon A \to A$ definido por $\phi_{\delta}(x) := x^p + p \cdot \delta(x)$ es un mapa de anillo que eleva el mapa de Frobenius $A/p \to A/p$ ;
  • el ideal $I$ define un divisor de Cartier dentro de $\operatorname{Spec}(A)$ es decir, existe un $A$ -submódulo $J \subseteq (A \setminus \operatorname{ZD}(A))^{-1} A$ tal que $I \cdot J = A$ (aquí $\operatorname{ZD}(A)$ denota el conjunto de divisores de cero en $A$ );
  • el anillo $A$ se deriva $(p,I)$ -completo, es decir, para cada elemento $f \in p A + I$ y cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $\operatorname{Ext}^n_A(A_f,A) = 0$ , donde $A_f = S_f^{-1} A$ con $S_f = \{f^k\}_{k \in \mathbb{N}}$ (véase el Proyecto Stacks, 091N );
  • $p \in I + \phi_{\delta}(I) \cdot A$ .

La razón por la que se define una estructura tan extraña es porque la presencia del mapa $\phi_{\delta}$ y el ideal $I$ permiten "descomponer" el complicado ideal $p \cdot A$ (es decir, la luz blanca) en los ideales $\phi_{\delta}^n(I) \cdot A$ (es decir, los colores del arco iris), que son más sencillos de estudiar.

Esto se puede resumir en la siguiente imagen enter image description here que representa el hecho de que $\operatorname{Spec}(A/p) \subseteq \bigcap_n \operatorname{Spec}(A/\phi_{\delta}^n(I) \cdot A)$ .

La razón por la que esta idea es tan poderosa es que proporciona una "codificación algebraica" de la teoría de los espacios perfectoides. Más concretamente, existe una equivalencia entre la categoría de prismas perfectos (es decir, prismas tales que $\phi_{\delta}$ es un isomorfismo) y anillos perfectoides (véase el teorema 3.9 en el preprint de Bhatt y Scholze). Como ya se ha dicho, esto permite a Bhatt y Scholze definir un sitio prismático, a partir del cual definen la cohomología prismática, que es comparable (en varios sentidos "integrales") a la mayor parte de la teoría de cohomología que puede definirse en $p$ -esquemas de la adicción.

Como referencia final para las partes de THH del documento de Bhatt y Scholze (y mucho más), sugiero esta encuesta por Lars Hesselholt y Thomas Nikolaus.

2 votos

Gracias por compartir esta elegante imagen :)

0 votos

Oh, gracias, no es nada elegante. Lo hice a partir de un dibujo que Lars Hesselholt hizo en la pizarra durante mi seminario sobre el complejo cotangente para su curso "Temas de topología" (puedes encontrar mis notas de este seminario aquí: drive.google.com/file/d/1Uf8Gpz2XecC20tGz_rKERSA485shryTL/ ).

10voto

La preimpresión ya se ha hecho pública:

Bhargav Bhatt y Peter Scholze, Prismas y cohomología prismática , arXiv: 1905.08229 .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X