Qué es tan especial acerca de los números negativos $m$, $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$?

Question

Esta pregunta se basa en una tarea de ejercicio:

"Vamos a $m$ ser negativo, cuadrado-libre entero con al menos dos factores primos. Mostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ no es un PID."

En un aparte comentario en el libro que estamos utilizando (Milne), se observó que mucho se sabe acerca de la extensión cuadrática con $m$ negativo, pero muy poco con $m$ positivo. ¿Por qué es esto?

No he resuelto el ejercicio, principalmente porque no puedo pensar en un propery de números negativos y positivos que los números no poseen ($|m|\neq m$, pero eso es trivial).

Parece que debería haber alguna forma relativamente sencilla de calcular los números de la clase para cuadrática extensiones con $m$ negativo y compuesto. O tal vez la manera de hacer esto es para producir un ideal que no es lo principal -, pero, a continuación, una vez más, debo encontrar esta propiedad de los números negativos que los separa de los positivos.

Answer 1

Una manera de pensar sobre esto es en términos de la reducción de la teoría de la positiva definida binario cuadráticas formas de $\mathbb{Z}$: véase, por ejemplo, Cox del libro de los números Primos de la forma $x^2 + ny^2$o, para una breve introducción a estas notas. El resultado clave aquí es que para cada positiva definida primitivo binario forma cuadrática hay un único Minkowski-forma reducida equivalente.

Si usted está buscando en las formas $x^2 + ab y^2$ con $1 \leq a \leq b$, $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$, a continuación, encontrará que tanto

$q_1(x,y) = x^2 + ab y^2$ y
$q_2(x,y) = a x^2 + by^2$

son Minkowski reducido, por lo que el número de clase de la cuadrática de orden de discriminante $-4ab$ debe ser de al menos $2$. Esta no es toda la historia, porque también tienen que lidiar con discriminantes de la forma $D \equiv 1 \pmod 4$, pero un análisis similar se puede hacer aquí. De todos modos, esto le da a usted alguna idea de lo que es diferente entre lo imaginario y lo real cuadrática campos: los binarios asociados cuadráticas formas de comportarse de manera muy diferente.

Añadido: Después de ver Weaam (correcta) de respuesta, miré hacia la pregunta y se vio que se está pidiendo algo que es más fácil de lo que pensaba: la pregunta es ¿por $\mathbb{Z}[\sqrt{-m}]$ no es un PID para ciertos enteros $m > 0$. Pero como Weaam señala, es fácil mostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{-m}]$ no es un UFD para cualquier $m > 2$: esto también ocurre en mis notas de la conferencia para el curso que he impartido (más o menos), basado en Cox del libro: ver Corolario 6 de estas notas (el primer folleto en el curso). Lo que digo arriba es también una solución completa a esta pregunta ... bueno, al menos siempre $m$ no es un cuadrado; en ese caso uno podría discutir que el anillo no es integralmente cerrado ... pero es más complicado de lo que es necesario. Lo que se indica es que para squarefree compuesta $m > 0$, el número de clase de la plena anillo de enteros de un imaginario cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$ es mayor que $1$. Esto parece ser más fáciles de manejar, por elemental de reducción de teoría / género de la teoría, a lo que yo sé. Por otro estrechamente relacionadas con el resultado, a ver Landau del Teorema en el final de el último de la serie de notas.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Considera factorizations como $\rm\ \ \sqrt{-pq}\ \sqrt{-pq}\ =\: -p\:q\ $

Nota demasiado $\rm\ p\ |\ d\ \Rightarrow\ (p,\:\sqrt{d})^2\ =\ p\ (p,d/p,\sqrt{d})\ =\ (p)\ $ desde $\rm\:d\:$ squarefree $\rm \Rightarrow\ (p,d/p) = 1\:$.

Más generalmente, se puede demostrar que una ecuación cuadrática número de anillo es un PID (o investigar su clase de estructura de grupo), mediante el análisis de la división o ramificación de racional de los números primos por debajo de la de Minkowski obligado. Por ejemplo, esto se explica de Euler famoso primer productoras de polinomios.

Una explicación de por qué esto es más simple, más complejo vs real cuadrática número de campos que tiene que ver con el hecho de que las normas reflejan mucho de la estructura multiplicativa, y el complejo cuadrática campos tienen más simples normas, siendo positiva definida vs indefinido fichar por el real cuadrática campos. Así, en el primer ejemplo se menciono anteriormente, es muy sencillo demostrar que $\rm\ \sqrt{-pq}\ $ es irreductible, ya que de lo contrario $\rm\ r\ |\ \sqrt{-pq}\ \Rightarrow\ rr'\ |\ pq\ $ $\mathbb Z\:,\:$ $\rm\ rr' = p\:$ o $\rm\:q\:,\:$ contra $\rm\ r\:r' = m^2 + pq\ n^2\ $ sólo toma de la plaza por debajo de valores de $\rm\:pq\ (\Rightarrow n = 0)\:$. Observe cómo esta prueba depende fundamentalmente de la positividad de la norma formulario. En un verdadero campo lugar, tenemos $\rm\ rr' = m^2 - pq\:n^2\ $, que, habiendo indefinido signo, frustra la prueba. Por ejemplo, en $\rm\ \mathbb Z[\sqrt 14]\ $ tenemos $\rm\ 2 = N(4 + \sqrt{14}),\ -7 = N(7 + 2\ \sqrt{14})\:,\:$ donde $\rm\:N\:$ es la norma.

De hecho no UFD número de anillos se caracterizan por esta propiedad, a saber. $\rm\ \sqrt{-pq}\ $ siendo irreductible, pero tener la norma se divide en dos o más números primos. De hecho, no es difícil mostrar que un número anillo es un UFD iff su irreducibles tienen el primer poder de normas, es decir, exactamente un racional prime $\rm\:p\:$ se produce en las normas de elementos irreductibles $\rm\ N(\pi) = p^n\:.\:$ Más generalmente, uno puede mostrar que en muchos contextos favorables (por ejemplo, Galois) que un número anillo disfruta de factorización única iff su monoid de normas. Referencias (Bumby y Dade, Lettl, Coykendall) ver mi sci.matemáticas post el 19 de diciembre de 2007.

Answer 3

Mediante la búsqueda de una irreductible, que no es el primer para d<-2, debería bastar como una de las principales es el mismo como un irreductible en un PID.

Un buen candidato es 2, lo que no es primo en $Z[\sqrt{d}]$, ya que se divide $d(d-1)$ pero no $\frac{d \pm \sqrt{d}}{2}$.

Para demostrar que 2 es irreducible a asumir que, al contrario, $2 = \alpha \beta$ donde ni una de las unidades.

Tome la norma, pero tenga en cuenta que el $N(a + b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$ es multiplicativo, siempre no negativo, y N(u)=1 fib u es la unidad, y las unidades son +1, -1, lo cual no sería el caso si d fueron positivas, como Arturo Magidin sugirió en un comentario anterior.

A continuación,$N(\alpha)=N(\beta)=2$, yo.e $a^2 - bd^2 = \pm 2$. A continuación, se puede deducir que si d<-2 entonces no hay tal o b existe, y el resultado de la siguiente manera.

Addendum:

Deje que d<-5 ser squarefree tales que d = pr, donde p es primo.

El ideal de $(p, \sqrt{d})$ no es principal en $Z[\sqrt{d}]$.

Supongamos $Z[\sqrt{d}]$ es el PID, a continuación, $(p, \sqrt{d}) = (n)$ algunos $n = a + b\sqrt{d}$.

Tomando la norma, a continuación, $N(n) = a^2 - db^2$ divide a d (la inclusión de los ideales).

Si b = |1|. A continuación, $a^2 \pm d$ divide a d y a = 0. Pero, a continuación, $N(n)=d$ divide $N(p)=p^2$, pero d = pq. Caso b >|1| es también trivial.

Caso b = 0. A continuación, $a^2$ divide a d, y, a continuación,$a=1$. Por lo tanto (n) = (1) = $Z[\sqrt{d}] = (p, \sqrt{d})$. A continuación, $1 = px + \sqrt{d}y$ de x, y en $Z[\sqrt{d}]$, pero, a continuación,$ps - dt = 1$, lo cual es imposible puesto que d = pr.