Presión para defender la relevancia de su área de matemáticas

Question

Soy un teórico del juego. Desde que empecé a estudiar este tema, me fui dando cuenta de las actitudes negativas al respecto. Éstas se expresaban tanto desde una perspectiva interna como externa. Por "perspectiva interna", me refiero a una expresión constante de preocupación por parte de los teóricos del conjunto y los lógicos sobre la relevancia de su trabajo para la comunidad más amplia / "mundo real", con estas preocupaciones a veces llevando a decisiones que definen la carrera en la dirección de la investigación.

Para mí, esta situación no es deseada. Estudié teoría de conjuntos porque me pareció interesante, no porque quisiera militar en algún tipo de movimiento. Además, no veo por qué hay que defender un área cuando produce muchos teoremas profundos. Esa parte ya es bastante difícil.

¿Hasta qué punto existe, en las distintas áreas de las matemáticas, un sentimiento generalizado de presión para defender la relevancia de toda la materia? ¿Existen algunas áreas en las que basta con seguir la investigación que los expertos en la materia consideran interesante, útil o importante? Por supuesto, siempre habrá una exigencia de explicar los "impactos más amplios" a las agencias de financiación, pero me refiero a situaciones en las que la presión proviene de los propios colegas o incluso del propio sentido interiorizado de lo que es una investigación adecuada.

Answer 1

En general, la gente del mundo académico en general y los matemáticos en particular son muy afortunado en ser libres de estudiar (y poder ganarse bien la vida) según los estándares de su disciplina, sin sentirse presionados a defender la relevancia de toda su materia. De hecho, incluso dentro de nuestras disciplinas tenemos mucha libertad para perseguir nuestras visiones y gustos individuales. (Para apreciar lo afortunados que somos, compárese la situación de los músicos, escritores, artistas, directores de cine, actores, ...)

Las relaciones con otras áreas de las matemáticas o fuera de ellas son agradables, pero son uno (y no necesariamente uno de los principales) de los diversos criterios para apreciar el progreso matemático.

Creo que tenemos el deber de intentar explicar lo que hacemos fuera de nuestra comunidad e incluso fuera de la comunidad matemática. (Pero también esta tarea es más fácil en algunos ámbitos y más difícil en otros).

Otra cosa que he encontrado útil en contextos similares es el " principio de seguridad ". Dada una situación no deseada que no tiene ninguna implicación en su acción, ¿por qué preocuparse por ella? en absoluto demasiado. Por ejemplo, supongamos que se rechaza un trabajo que usted ha escrito y que considera bueno. Si el rechazo fue injusto, la conclusión es: "Mejora tu trabajo", y si el rechazo fue justo, la conclusión es "Mejora tu trabajo".

Answer 2

Estas preguntas pueden ser una oportunidad para hacer un poco de examen de conciencia; eso no es malo de vez en cuando.

Puedes decir que quieres trabajar en lo que te parezca interesante y no hace falta ninguna otra justificación o motivación. Y yo estoy de acuerdo contigo y te apoyo en eso.

Pero otros pueden preguntarse por qué deberían dar financiación y espacio para apoyarle en ello, y son preguntas legítimas que merecen alguna respuesta, ya que el dinero y el espacio de investigación son limitados y deseados por mucha gente.

Puedes responder que, como un artista, estás explorando y creando y esto es una actividad valiosa, y ahí también estoy de acuerdo contigo. Pero es más valiosa cuanta más gente la comparta. Por desgracia, la receptividad de la gente depende de los gustos del momento. Así que esto puede convertirse en una industria de la moda. Por otro lado, si crees que hay belleza y valor en tu zona, puede valer la pena trabajar para demostrarlo y compartirlo con los demás (o puedes llamarlo política).

También puede responder que su trabajo será útil para la gente ahora o en el futuro; su área puede conducir a entendimientos o avances con eventual impacto en la ingeniería, la física, etc. Dada la historia de las matemáticas, puede intentar justificar que a largo plazo suelen producirse conexiones imprevistas.

Por lo tanto, no es sorprendente que (para responder a su pregunta) las áreas con impacto práctico, o con belleza y mérito históricamente aceptados, encuentren más fácil hacer estos argumentos y menos presionados para defender su campo.

Y puede ser valioso preguntarse cómo su trabajo ayuda o inspira a otros, ya sea en sentido práctico o estético. No digo que tenga que ser así, sobre todo si tu puesto y tu financiación ya están asegurados. Entonces, ¡haz lo que quieras! Y no digo que uno deba tener esta crisis existencial todos los días o incluso todos los años, pero puede ser saludable de vez en cuando.

Answer 3

En primer lugar, voy a intentar responder a la pregunta en un "mundo ideal", en el que (en particular) la teoría de conjuntos se trata como cualquier otra rama de las matemáticas, y luego voy a discutir cómo podríamos quedarnos cortos.

En un mundo ideal, la pregunta "¿Cuál es la importancia de su campo para el resto de las matemáticas?" no se plantearía tan a menudo (a menos que el campo sea tan pequeño que nunca se haya oído hablar de él), pero sí la pregunta "¿Cuál es la importancia de su trabajo para el resto de las matemáticas?". La razón es que la red de conexiones entre los diferentes campos es una de las cosas que hace que las matemáticas sean más bellas.

Por supuesto, esto no significa que si el trabajo de alguien no es importante para otros campos de las matemáticas, los matemáticos deban rechazar todas sus propuestas de subvención y negar sus solicitudes de empleo. Sólo significa que las conexiones con otros campos de las matemáticas son un posible punto de venta muy fuerte. Hay una serie de razones por las que un teorema matemático puede ser interesante, entre las que se encuentran las aplicaciones.

En mi subcampo preferido (la teoría de la cohomología etale, uno de los temas más de moda en la década de 1960), y sospecho que en muchos otros campos de las matemáticas, la forma en que lo veo es que hay un núcleo técnico del tema, que consiste en trabajos que abordan los problemas técnicos más difíciles o que hacen avanzar los métodos del campo, y una periferia circundante que consiste en trabajos que atacan ejemplos específicos o que sólo hacen pequeñas variaciones de las técnicas existentes. Son estos trabajos periféricos los que necesitan aplicaciones. (Permítanme aclarar que no estoy tratando de criticar los trabajos de otros matemáticos; estoy pensando principalmente en mi propio trabajo cuando pienso en los trabajos de la periferia, aunque estoy orgulloso de algunas de mis aplicaciones). Para convencer a otros matemáticos de la importancia de los trabajos sin aplicaciones, hay que apoyarse en otros puntos (cuánto tiempo lleva abierto un problema, quién lo ha intentado y ha fracasado, la forma en que conecta diferentes subcampos de su campo).

Una ventaja adicional para aquellos cuyo trabajo tiene aplicaciones en otras áreas de las matemáticas es que los matemáticos de esas áreas podrán entender mejor cuando hablan de la importancia de su trabajo. Cuando alguien le explica un trabajo en su campo, o que tiene relevancia para su campo, es capaz de juzgar con más precisión su valor. En el caso de un trabajo en otro campo, aunque sea igual de bueno, es posible que no puedas comprobarlo por ti mismo. Para este problema parece que el único recurso es esforzarse más en explicar su trabajo, por ejemplo, utilizando analogías con otros trabajos.

Ahora bien, ¿cuál puede ser el problema de la teoría de conjuntos?

Me parece que los no teóricos de conjuntos pueden tener una percepción sesgada de la teoría de conjuntos por varias razones:

Algunos matemáticos ven las matemáticas completamente a través de la lente de los objetos matemáticos finitos.

Una de las razones es que, dado que la teoría de conjuntos es la base de las matemáticas, la mayoría de los matemáticos trabajan con conjuntos en algún momento de la investigación, pero normalmente con conjuntos casi totalmente muertos (es decir, carentes de interés teórico-conjuntivo intrínseco). La mayoría de los matemáticos probablemente sólo trabajan con conjuntos finitos y conjuntos de cero, uno o dos cardinalidades infinitas diferentes. Así que si se trabaja con conjuntos se trabaja con algo que el matemático ha visto, pero no que haya visto que sea interesante.

Algunos matemáticos son escépticos con respecto a los puntos de vista filosóficos tanto platonistas como formalistas en matemáticas, y se consuelan con el hecho de que su investigación (y la mayor parte de la investigación matemática) puede reducirse en principio a afirmaciones sobre objetos concretos y finitos. En el caso de la teoría de conjuntos, esto no puede hacerse más que de manera puramente formal.

Tal vez sólo porque soy optimista, creo que la mayor razón es que los matemáticos simplemente no entienden mucho la teoría de conjuntos. No es tan transparente para los de fuera cómo surge un zoo de fauna matemática exótica a partir del simple concepto de tamaño. Creo que muchos matemáticos que se oponen a la teoría de conjuntos serían receptivos si se les explicara de forma adecuada. Basta con examinar el marcador de reputación de todos los tiempos en mathoverflow para demostrar que es posible que un teórico de conjuntos, explicando bien la teoría de conjuntos, sea popular entre los matemáticos de todas las tendencias.

Probablemente el mejor consejo para hacer esto es encontrar a los matemáticos de tu campo que tienen más éxito profesional e intentar ver cómo se presentan a un público matemático más amplio. Asistí a una bonita charla coloquio de Hugh Woodin que, en mi opinión, hizo un gran trabajo explicando la importancia de la teoría de conjuntos a los no teóricos de conjuntos sin, creo, mencionar nunca una aplicación a otras ramas de las matemáticas.

Answer 4

Mi impresión es que el desprecio por la teoría de conjuntos entre otros matemáticos es un fenómeno relativamente reciente. Matemáticos alabados como Erdos, Gödel, Hausdorff, Kuratowski, Steinhaus, von Neumann o Luzin podrían considerarse teóricos de conjuntos en un sentido amplio. Ciertamente, cabría esperar que Hilbert hubiera sentido un profundo respeto por el desarrollo moderno de la teoría de conjuntos: no es casualidad que la CH fuera el primer problema.

Una cosa que creo que lleva a la gente a tener una visión negativa de la teoría de conjuntos es que los libros de texto de todas las asignaturas tienen "introducciones a la teoría de conjuntos" o apéndices que explican torpemente algunos fundamentos muy básicos que luego son totalmente irrelevantes para el resto del libro, lo que lleva a la gente a creer que la teoría de conjuntos no es más que una argucia superficial sobre los axiomas o la ley de Morgan que les aleja del tema verdaderamente interesante. Esta tradición parece remontarse a Bourbaki, quien, curiosamente, no parece sufrir ninguna mancha por ello. He oído a mis profesores de otros campos matemáticos hacer algún comentario espontáneo sobre las clases propias: "que podrían importarte, si fueras un teórico de conjuntos". ¿De la misma manera que me preocuparían los números si fuera un teórico de los números?

Y por supuesto, esta mala sociología no es exclusiva de la teoría de conjuntos o de la lógica. Por lo que he leído, la combinatoria solía percibirse como una asignatura de segunda clase. Esta mentalidad está arraigada en muchos de los escritos de Gian-Carlo Rota. Y creo que la situación ha cambiado, ya que el tema ha ganado mucho prestigio en los últimos años y se han realizado muchas conexiones con otras ramas.

Este tipo de cosas ocurren continuamente en las matemáticas aplicadas, donde las modas cambian a marchas forzadas, y la financiación con ellas.

En cuanto a la teoría de la homotopía, Clark Barwick publicó un artículo, ahora retirado, en el que decía que los logros del campo se estaban pasando por alto debido a tendencias sociológicas, como que los mejores investigadores se contentan con no publicar en revistas generalistas de prestigio.

Y para dar un poco de perspectiva, hace poco escuché a un investigador muy respetado quejarse de que su campo se estaba desvaneciendo y que su percepción era que la teoría de conjuntos tiene toda la gente mejor y el progreso más emocionante en estos días.

Personalmente, encuentro la teoría de conjuntos muy fácil de justificar. Tiene problemas difíciles de gran interés intrínseco no muy alejados de la superficie (como la teoría de números, en algunos aspectos), poderosas técnicas no elementales, una elegancia asombrosa y conexiones con otras áreas (y probablemente aún más por descubrir debido a problemas sociológicos). El progreso ha sido enorme, pero todavía se puede ver la cadena que conecta la teoría clásica y la moderna. Creo que si alguien se lo propusiera, un teórico de conjuntos podría explicar muy bien el panorama general a otro tipo de matemáticos, donde incluso la gente que está informada tiene a veces ideas como que sólo estamos tratando de descubrir cardinales cada vez más grandes.

En la obra de Alain Connes consejo en el Companion, se hace eco de una cita de Feynman: "¡por qué te importa lo que piensen los demás!". Por supuesto, nos importa lo que piensen las agencias de financiación y otros evaluadores, pero la lección que me llevo es que incluso Connes se enfrentó a detractores en su carrera. A fin de cuentas, no vale la pena sentir que tenemos que defendernos continuamente de los caprichos de las opiniones de quienes no entienden (¡y deciden no hacerlo!).

Answer 5

No son sólo las matemáticas, he visto cosas similares en la industria del software y la ciencia de los datos. La programación funcional, la cobertura de pruebas, la estadística bayesiana y el aprendizaje profundo son solo algunas de las áreas que he encontrado en mi corta carrera industrial y que suscitan fuertes sentimientos y guerras de llamas (tanto en Internet como dentro de una misma empresa).

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Sin embargo, podría ser más fuerte en las matemáticas, y en la lógica en particular. Creo que se trata de una situación difícil que se debe a dos cosas. (1) La primera son los recursos finitos. Sólo hay un número finito de puestos disponibles para estudiantes de posgrado y profesores. También hay un número limitado de subvenciones. Esta escasez provoca conflictos, ya que hay que luchar constantemente por un trozo del pastel. (2) La segunda es la estética. Hay más problemas y áreas de investigación disponibles de las que uno puede trabajar. El trabajo de un investigador solitario se perderá en los archivos, y un tema demasiado saturado (sobre todo uno fácil) podría dar lugar a muchas investigaciones triviales, muchas de ellas pequeñas modificaciones de la teoría conocida. Muchos matemáticos tienen una estética personal sobre lo que es una buena matemática, y en mi opinión, si se utiliza correctamente, es muy útil para orientar el propio campo hacia los problemas y las herramientas que son máximamente interesantes y útiles. Pero si se utiliza mal y se mezcla con mucho ego, conducirá al resentimiento y a peleas públicas en toda regla.

No es sólo la teoría de conjuntos, lo he visto en muchas áreas de la lógica (e imagino que también ocurre en otras áreas de las matemáticas). He aquí otro ejemplo:

Antes de dejar el mundo académico, trabajaba en la aleatoriedad algorítmica, un campo que daba una definición rigurosa de un tipo de aleatoriedad. Me he encontrado con mucha hostilidad abierta por parte de aquellos que han considerado esto como una especie de "teoría de la probabilidad bastarda". A esto no ha contribuido una ruidosa minoría (con la que estoy muy en desacuerdo) que piensa que ésta es realmente la definición canónica correcta de "aleatoriedad" y que la teoría de la probabilidad debería basarse en esta teoría. También tengo que admitir que tengo mis propios prejuicios internos contra este campo. Creo que se está centrando demasiado en los tipos de problemas equivocados y he intentado, sin éxito, hacer avanzar el campo en una dirección diferente.

También he visto grandes peleas o comentarios sarcásticos relacionados con la teoría de conjuntos frente a la teoría de categorías, la teoría de tipos de homotopía frente a la ZFC, la matemática inversa frente a la matemática constructiva, y los méritos del análisis computable al estilo de la TTE y la teoría de pruebas.

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Mi mejor consejo es que trates de mantenerte al margen de la contienda y no te dejes arrastrar por las guerras de fuego. Pero también escuchar abiertamente las críticas de ambos bandos y utilizarlas para orientar tu estética matemática personal.