Resultados interesantes en geometría algebraica accesibles para estudiantes de tercer año

Question

En otro hilo me preguntó cómo me podría animar a mi último año de licenciatura colegas para tomar una geometría algebraica o de análisis complejo de los cursos durante sus estudios de posgrado.

Willie Wong me propuso una idea - les muestren algunos resultados interesantes en este campo con relativamente sencillo pruebas y algunas de las consecuencias en otros campos. Así, por 'interesante' resultado en la geometría algebraica he aquí lo que significa el resultado que puede convencer a 3er año de los estudiantes de pregrado para el estudio de la geometría algebraica.

De hecho voy a dar alguna charla en el seminario dedicado a final de año de los estudiantes de pregrado, y puedo proponer mi propio tema, por lo que pensé que podría trabajar. Pero mi problema es que yo solo quiero-ser estudiante de la geometría algebraica y no tengo suficiente conocimiento para encontrar un tema que 'podría trabajar'.

También dudo de si es posible presentar algunas curiosas ideas de la geometría algebraica a la audiencia sin ninguna preparación en este campo.

Así que, en breve mi primera pregunta es como arriba:

Es posible presentar algunas curiosas ideas de la geometría algebraica a la audiencia sin ninguna preparación en este campo?

Para ser más precisos - la charla debe tomar una o dos sesiones, de 90 minutos cada uno. El público será, como he dicho 3er año de licenciatura de los estudiantes, todos ellos después de dos semestres del curso de álgebra, algunos de ellos después de uno o dos semestres en álgebra conmutativa. Todos los que participan en el curso de una variable compleja, y después de un semestre de un curso introductorio de la geometría diferencial. Algunos de ellos pueden estar interesados en la teoría de números.

La segunda pregunta es la siguiente:

Si Usted piensa que la respuesta a las anteriores pregunta es positiva, por favor, trate de dar un ejemplo de idea/teorema/resultado que sería accesible en el momento de dicha audiencia, y que Se encuentre lo suficientemente interesantes para que ellos consideran la posibilidad de que el estudio de la geometría algebraica. Trate de pensar acerca de los resultados que muestra las conexiones de AG con algunos otros campos de las matemáticas.

Answer 1

Si usted está dispuesto a engañar a más de algunos detalles, podría presentar una "prueba" de la declaración de que cada liso cúbicos de superficie en $\mathbb{CP}^3$ contiene exactamente 27 líneas. El hecho de que las líneas en una superficie puede ser contados, y que el resultado resulta que no dependen de la cúbico, me parecía a mí como por arte de magia antes de que me enteré de la geometría algebraica.

Creo que este tema es bueno para un número de razones. La instrucción es primaria y sorprendente. La prueba es bastante elemental como bien (concesión de algunas cosas), pero está lejos de ser trivial y muestra muchas ideas interesantes típico de la geometría algebraica, como el uso de los espacios de parámetros. Por otra parte, no es tan elemental que usted será capaz de dar una completa prueba en una de las charlas, por lo que interesa a los estudiantes querrán saber más. Por último, el más delicado de los conceptos a partir de una geometría algebraica punto de vista son los de la suavidad y de la dimensión, pero se puede hacer con el análogo concepto en la geometría diferencial, proporcionando un vínculo con algo que ya conocen.

He escrito todos los pasos, sólo para estar seguro, y creo que no hay nada demasiado complicado para tu audiencia. Por supuesto, dependiendo del tiempo, usted querrá pasar por alto algunos detalles, y que los presente como cajas negras.

La prueba

En primer lugar, se puede definir la suavidad en términos de la geometría diferencial, y hacer la afirmación de que una variedad algebraica es suave en un punto si y sólo si el Jacobiano de la definición de ecuaciones tiene la máxima rango. La observación de que una implicación siempre se mantiene en el diferenciable caso, pero no puede ser lisa colectores definido por las ecuaciones que están en singular. Los polinomios son lo suficientemente rígidos para evitar esto. En realidad se podría demostrar este hecho para hypersurfaces, que es el caso de que usted está interesado en. Así, los estudiantes serán capaces de entender lo que es un suave subic superficie.

El primer paso de la prueba de ello es el hecho de que cada cúbicos de superficie, suave o no, contiene líneas. Esta es la menos parte elemental, y usted lo desea, puede omitir este hasta el final de la charla.

Una vez que usted tiene una línea de $l$ consideran los aviones de $H$ contiene $l$. La intersección de $H$ con la cúbico es un plano cúbico. Factorizar el polinomio, debe ser la unión de $l$ con un suave cónica, o tres líneas. Por otra parte usted puede demostrar que en el segundo caso, las tres líneas son distintos y no se reúnen en un punto, de lo contrario el cúbicos no sería suave allí. Esto es completamente primaria: usted acaba de demostrar que si las tres líneas no forman un triángulo, todas las derivadas parciales de la definición de la ecuación para el cúbicos de superficie se desvanecen en un punto.

El tercer paso es darle un bijection entre el conjunto de planos que contengan $l$ e $\mathbb{P}^1$. Un simple (pero un poco largo) cálculo dice que cuando el residual cónica en el plano es suave. Es decir, la desaparición de la determinante de los residuos de la cónica es una ecuación de grado $5$ esta $\mathbb{P}^1$. Se puede demostrar que esta ecuación tiene distintas raíces, de nuevo, porque el cúbicos es suave.

Llegamos a la conclusión de que para una determinada línea de $l$ no se exactamente $5$ planos a través de $l$ en el que el cúbicos se descompone como la unión de tres líneas. Dicho de otra manera, cada línea cumple exactamente $10$ otras líneas.

Finalmente, esto implica que el número total de líneas es $27$. De hecho, tomar cualquiera de estos planos que contengan $3$ líneas, llame a ellos $r$, $s$ y $t$. Cualquier otra línea en la superficie cumple con el avión, por lo tanto cumple con uno entre $r$, $s$ y $t$. No hay el triple de las líneas de reunión en un punto, debido a que un punto singular. Por lo tanto cada uno de $r$, $s$ y $t$ cumple con $8$ otras líneas, dando un total de $3 \times 8 + 3 =27$ líneas.

La caja negra

Sigue la caja negra que se puede encontrar al menos una línea en la superficie. Aquí usted tendrá que ser incompleto, pero esperemos que este se humedezca sus estudiantes apetito para ver más acerca de la geometría algebraica.

En primer lugar, definir el Grassmannian como un conjunto, y hacer la afirmación de que es una variedad algebraica. Esto es particularmente fácil para el Grassmannian de líneas en $\mathbb{P}^3 = \mathbb{P}(V)$, ya que se define por la ecuación cuadrática $\alpha \wedge \alpha = 0$ dentro $\mathbb{P}(\bigwedge^2 V)$. Del mismo modo se demuestra que el espacio de parámetros para cúbicos superficies es de nuevo una variedad algebraica sí mismo, es decir un espacio proyectivo $\mathbb{P}^{19}$.

Luego de definir la incidencia de la variedad de parejas $(l, X)$ de una línea y un cúbicos tal que $l \subset X$; esta es una subvariedad del producto. El argumento de que ahora utiliza el teorema de la dimensión de las fibras de una expresión algebraica de morfismos. Por supuesto, usted no puede probarlo, pero es bastante plausible. Hacer la observación de que una clara declaración, posiblemente, puede contener sólo porque polinomios son lo suficientemente rígido. Para la noción de dimensión, puede utilizar la dimensión compleja de colectores, o la mitad de la dimensión real.

Mostrar que el conjunto de cúbicas que contiene una línea dada es en sí mismo un espacio proyectivo $\mathbb{P}^{15}$. Desde el Grassmannian tiene complejo de dimensión $4$ (esto es plausible, siendo una hipersuperficie en $\mathbb{P}^5$), la incidencia de una variedad de dimensión $19$, como el espacio de parámetros para cúbicas. Por el teorema de la dimensión de las fibras, para mostrar que la proyección es surjective sólo se necesita mostrar una cúbico que tiene una fibra de dimensión $0$, es decir, un cúbicos con un número finito de líneas.

Esto es fácil de hacer explícitamente. Tenga en cuenta que es más fácil de hacer con un singular cúbicos, por lo que para obtener un resultado sobre la suave cúbicas será más fácil trabajar con un espacio de parámetros que contiene en singular.

Answer 2

Vi a Brian Conrad dar una excelente charla de una hora a estudiantes universitarios donde demostró que no existen polinomios no constantes, relativamente primos$a(t)$,$b(t)$ y$c(t) \in \mathbb{C}[t]$ tales que$$a(t)^3 + b(t)^3 = c(t)^3. Dio una prueba elemental, luego describió la prueba mejor motivada donde se ve que$\mathbb{CP}^1$ no puede mapear holomórficamente a una curva de género$1$.

Answer 3

Este no es un resultado tanto como una perspectiva, pero es una de las principales razones por las que me interesó por primera vez en la geometría algebraica.

Básicos de la teoría algebraica de números de saber que algunas de las extensiones de los números enteros, como $\mathbb{Z}[i]$, han única factorización, pero otros, como $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, no. Luego se le dijo que tomara un campo de número de $K$ y considerar la integral de cierre de $\mathcal{O}_K$ de % de $\mathbb{Z}$ dentro de él. Este anillo tiene la importante propiedad de que es un dominio de Dedekind, lo que significa que sus ideales se han única factorización pesar de que sus elementos no. ¿Qué tiene uno que hacer de esta definición? Técnicamente es útil, pero ¿cuál es su contenido conceptual?

Para ver la geometría detrás de estas definiciones, reemplace $\mathbb{Z}$ con $\mathbb{C}[t]$. Finito extensiones de $\mathbb{C}[t]$, tales como aquellos de la forma $\mathbb{C}[t, x]/f(t, x)$, puede ser identificado con las superficies de Riemann $f(t, x) = 0$ observando el máximo espectro si y sólo si las hipótesis del teorema de la función implícita se cumplen; en particular, las derivadas parciales de $f$ no pueden desaparecer en cualquier lugar (sin singularidades). Algebro-geométricamente, todos los locales de los anillos deben ser Dvr.

Resulta que esta condición es equivalente a $\mathbb{C}[t, x]/f(t, x)$ ser un dominio de Dedekind! Esto es debido a que la propiedad de ser un dominio de Dedekind es local: se aplica para un Noetherian anillo si y sólo si para cada anillo local. Esto no es cierto para la propiedad de ser un PID o una unidad flash usb, por lo que uno puede pensar de dominios de Dedekind como objetos que se parecen localmente como el Pid en la misma forma que los colectores son objetos que se parecen localmente como $\mathbb{R}^n$.

Y al final uno se queda con una importante intuición geométrica: anillos de enteros que no son integralmente cerrado corresponde a "la aritmética de variedades" con "singularidades", y cuando tomamos la integral cierres estamos resolviendo esas singularidades. Más en general, creo que la algebro-de la perspectiva geométrica en número de campos arroja mucha luz sobre el tema; Neukirch trae esta analogía hacia el final del primer capítulo, si recuerdo correctamente.

Answer 4

Emerton menciona la introducción de curvas elípticas, pero también puede introducir el grupo de la ley en el buen lugar geométrico de un nodal o cuspidal cúbicos curva. La costumbre ecuaciones se $y^2 = x^3 + x^2$ e $y^2=x^3$. Son como el grupo de leyes para curvas elípticas (es decir, dibujar líneas y los puntos de intersección de suma cero), pero estructuralmente más simples (por ser un toro y un aditivo de grupo, respectivamente). Las ecuaciones para la torsión puntos son un poco más fáciles de resolver que las fórmulas correspondientes para cualquier curva elíptica. Usted puede incluso tratar de contar los puntos más diversos campos finitos para el nodal de la curva.

También puede ser que desee para ver algunos de David Speyer puestos en el Secreto de los Blogs Seminario sobre algebro-geométrica de las pruebas y de las interpretaciones de los clásicos teoremas. He aquí unas cuantas:

1. El Teorema de menelao
2. Poncelet del Porism
3. La reciprocidad cuadrática de la función de ajuste de campo