¿Por qué la geometría tropical?

Question

La geometría tropical puede describirse como "geometría algebraica" sobre el semicampo $\mathbb{T}$ de los números tropicales. Como un conjunto, $\mathbb{T}=\mathbb{R}\cup \{ -\infty\}$ ; ésta está dotada de que la suma viene dada por el máximo (habitual) de los números reales y la multiplicación por la suma (habitual) de los números reales. Recientemente se ha investigado mucho sobre este tipo de geometría. La pregunta obvia es ahora: ¿por qué la gente está interesada en esto?

Hay tres posibles motivaciones que conozco:

(1) Ecuaciones "polinómicas" sobre $\mathbb{T}$ pueden interpretarse como igualdades e inecuaciones lineales sobre los reales clásicos. Así, los que trabajan en optimización lineal y áreas similares pueden utilizar la geometría tropical como un enfoque alternativo, más algebraico, que podría conducir a nuevos métodos y conocimientos.

(2) En la jerga de la cuantificación, se puede interpretar $\mathbb{T}$ como un "límite clásico" de los semicampos que son todos isomorfos a $\mathbb{R}^{\ge 0}$ con las sumas y multiplicaciones habituales. Más concretamente, para cualquier $q>0$ set $\mathbb{T}_q=\mathbb{R}\cup\{ -\infty \}$ y considerar la biyección $\log_q:\mathbb{R}^{\ge 0}\to\mathbb{T}_q$ (ajuste $\log_q(0)=-\infty$ ). Impulsando la estructura habitual del semicampo en $\mathbb{R}^{\ge 0}$ a lo largo de $\log_q$ obtenemos una estructura de semicampo en $\mathbb{T}_q$ . Entonces es fácil comprobar que el semicampo $\mathbb{T}$ es, en el sentido obvio, el límite de $\mathbb{T}_q$ como $q\to 0$ . Así que si a uno le gusta pensar en estos términos (a mí no, pero eso no me molestará por ahora), entonces la geometría algebraica real aparece (con un grano de sal) como la versión cuántica de la geometría tropical, lo que a su vez da a la geometría tropical un papel importante.

(3) Esto es sólo una justificación post hoc. Algunos problemas de la geometría algebraica clásica, principalmente de la geometría enumerativa, se han resuelto con métodos de la geometría tropical. La estrategia habitual es la siguiente: tenemos una pregunta en geometría algebraica, cuya respuesta se supone que es un número entero (digamos). A continuación, planteamos una pregunta análoga en geometría tropical, demostramos que las respuestas a las dos preguntas coinciden, y luego trabajamos en la pregunta tropical, que suele ser mucho más sencilla de responder.

Además de estos tres argumentos, ¿tiene alguna otra motivación para estudiar la geometría tropical?

Answer 1

Mi historia personal con esta pregunta es que, en algún momento de 2007, quise encontrar un proyecto para un estudiante del que era mentor en RSI (un programa para estudiantes de secundaria que produce investigación real) y pensé en alguna variante de la pregunta "¿cómo se pueden visualizar todas las diferentes estructuras geométricas en un toro topológico (curva elíptica/ $\mathbb{C}$ )" sería motivador. (Al final, se decantó por otro proyecto de geometría algebraica y fue un gran éxito. Está en este sitio y probablemente pueda adivinar quién es). Se lo comenté a un amigo mío, que se dedica a la geometría simpléctica (¡!), que me dijo "¿no es la geometría tropical la respuesta canónica a esa pregunta?"

Descubrí que esto era así. Gracias a la geometría tropical, se pueden representar "curvas" tropicales no isomorfas de género uno como gráficos planos visualmente distintos. De hecho, impartí un curso sobre el tema a media docena de estudiantes universitarios y aprendí otras grandes visualizaciones: por ejemplo, la versión tropical del teorema de Bezout se demuestra contando realmente los triángulos del polígono de Newton. También la fórmula del grado-genio.

Incluso descubrí que era práctico (¿cómo de práctico? Ver este documento de Eric Katz): se pueden deducir teoremas reales de geometría algebraica a partir de él. Por supuesto, los resultados enumerativos de Mikhalkin son los ejemplos más espectaculares, pero me complació elaborar una deducción del teorema de Bezout sobre el campo de las series de Puiseux a partir del teorema tropical (y, si te gustan los isomorfismos no constructivos, puedes obtener el teorema sobre $\mathbb{C}$ ).

En realidad no investigo en el área, pero es muy atractiva.

Answer 2

Para un ejemplo sorprendente de un resultado clásico en geometría algebraica con una demostración tropical, véase Una prueba tropical del Teorema de Brill-Noether por Cools, Draisma, Payne y Robeva. La prueba original de este teorema (por Griffiths y Harris) implica sutiles argumentos de transversalidad, que son capaces de eludir en esta prueba "combinatoria". La nueva prueba también es válida en todas las características.

Answer 3

Grigory Mikhalkin tiene algunos artículos que pueden resultar motivadores. Para empezar, una encuesta sobre curvas tropicales de la columna "What is ..." de AMS Notices de abril de 2007, disponible aquí http://www.ams.org/notices/200704/index.html

A continuación, un artículo más extenso de la ICM de 2006, titulado acertadamente Geometría tropical y sus aplicaciones donde cubre sus tres aplicaciones mencionadas, extiende la idea de las curvas del artículo anterior a las variedades generales, y luego da buenas formas de calcular los invariantes de Gromov-Witten de $\mathbb{CP}^2$ . Si te gusta la geometría algebraica real, también calcula los números de Welshinger, y los métodos de pegado de hipersuperficies de variedades tóricas en dimensiones superiores.

Por último, el artículo "Enumerative Tropical Algebraic Geometry", disponible en su página web, ofrece un método para calcular invariantes de Gromov-Witten multicomponentes, así como algunas otras aplicaciones de recuento.

Puede que también le guste esta pregunta: ¿Qué podemos aprender de la tropicalización de una variedad algebraica?

Answer 4

Bernd Sturmfels ha aplicado la geometría algebraica tropical a los árboles filogenéticos. Según él, el espacio de los árboles cuyas aristas tienen longitudes es un grassmanniano tropical. Y los árboles utilizados en estos modelos no tienen raíces porque no se puede saber, a partir de las pruebas de ADN, qué vértice debería ser la raíz.

Answer 5

Puede que quieras mirar algunos artículos de Walter Gubler: http://www.mathematik.uni-regensburg.de/gubler/Publikationen.html

Variedades tropicales para espacios analíticos no arquimédicos, Inventiones mathematicae 169 (2007), 321-376

La conjetura de Bogomolov para variedades abelianas totalmente degeneradas, Inventiones mathematicae 169 (2007), 377-400