Esta es una pregunta que se me ocurrió hace años cuando estaba aprendiendo topología algebraica. Desde entonces he aprendido que es una pregunta un tanto estéticamente desagradable, pero todavía tengo curiosidad por la respuesta.
¿Es posible que un subconjunto de$\mathbb R^2$ tenga un grupo de homología singular no trivial$H_2$? ¿Qué pasa con un grupo de homotopía no trivial$\pi_2$?
El análogo de dimensiones superiores tiene la sorprendente respuesta "sí". A saber, para$n\geq 2$, el$n$ - arete hawaiano dimensional$H_n = \bigcup_{k=1}^\infty S(k)$, donde$S(k)\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ es la esfera$n$ - con centro${1\over 2k}\mathbf{e}_1$ y radio${1\over 2k}$ tiene una homología distinta de cero en dimensiones arbitrariamente altas. Este es el resultado de Barratt y Milnor ( Un ejemplo de homología singular anómala ).
Aparentemente, la asfericidad se debe a Zastrow (ver Cannon-Conner-Zastrow ).
También aparentemente el resultado de que los grupos de homología superior desaparecen se debe a Zastrow , pero su tesis de habilitación nunca parece haber aparecido.
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