La normalización de cada una de Sylow p-subgrupo frente a la centralización de todos los Sylow p-subgrupo

Question

Es cierto que:

Si la intersección de la Sylow p-subgrupos es trivial, entonces la intersección de sus normalizadores es igual a la intersección de sus centralizadores?

Yo la mitad de recordar este ser verdadero para impar p, pero no puedo encontrar la referencia. No he encontrado un contraejemplo para p=2 o p=3.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí. Deje $K$ ser la intersección de los normalizadores de la Sylow $p$-subgrupos de $G$, e $P$ cualquier Sylow $p$-subgrupo. A continuación, $K$ es un subgrupo normal de $G$, lo $[K,P] \le K \cap P$. Si $K \cap P$ es trivial, luego de un nonidentity elemento $g$ es de orden una potencia de $p$ y normaliza todos Sylow $p$-subgrupos, por lo que debe estar en todos los Sylow $p$-subgrupos, contradiciendo su suposición. Por lo $[K,P] = 1$ y, por tanto, $K$ centraliza todos los Sylow $p$-subgrupos.