¿Por qué Voevodsky consideró las categorías "posets en la siguiente dimensión", y los grupopoides la generalización correcta de los conjuntos?

Question

Hoy me topé con este artículo, escrito por V. Voevodsky acerca de la "filosofía" detrás de la Univalentes Bases del programa. Yo había leído que antes de todo el tiempo de su muerte, y un pasaje que recuerdo claramente es este, por que tengo poco en el camino de una rigurosa justificación:

El mayor obstáculo para mí fue la idea de que las categorías son "conjuntos en la siguiente dimensión." Me recordó claramente la sensación de un logro que he experimentado cuando he entendido que esta idea es incorrecta. Las categorías no son "conjuntos en la siguiente dimensión." Ellos son "parcialmente de conjuntos ordenados en la siguiente dimensión" y "establece en la siguiente dimensión" son groupoids.

— Voevodsky, Los Orígenes y las Motivaciones de los Univalentes Fundaciones

Si tuviera que adivinar, diría que el noninvertibility de morfismos en categorías corresponde a algún tipo de orden parcial, mientras que un groupoid no conlleva dicha información ya que todos los morfismos son, de hecho, isomorphisms, pero seguro que hay algo más en juego que causó alguien como Voevodsky considerar esta la realización de una "gran avance" que acompañado de un significativo "barricada".

Answer 1

En primer lugar, no es en verdad nada matemáticamente muy profundo en esta observación, y estoy de acuerdo en que la palabra "avance" podría ser exagerado. Pero por otro lado un montón de muy profundas ideas de apariencia trivial, una vez que se mencionan explícitamente. Además de ser más joven que Voevosky nunca he sido muy expuesta a la idea de que las categorías eran conjuntos de mayor dimensión (pero esto, de hecho, aparece en la obra temprana en categorías superiores, normalmente en Báez & Dolan del trabajo), así que no puedo comentar sobre lo importante que es entender que este no es un buen punto de vista. Pero te puedo dar un poco de contexto sobre lo que Voevodsky probablemente significaba aquí.

Una cosa a entender es que, como muchos matemáticos y la mayoría de los teóricos de la categoría, Voevodsky es muy apegado a el "principio de equivalencia", diciendo que cuando se habla de categorías sólo se debe utilizar conceptos que son invariantes bajo la equivalencia de categorías. Por ejemplo, en su trabajo sobre contextuales categorías, que han rebautizado como "C-systems", porque no quería llamar categorías, según su definición no es invariante bajo la equivalencia de categorías.

Ahora, si usted sigue este principio de equivalencia de forma muy estricta, hablando sobre "el conjunto de objetos de una categoría de" no es significativo (es decir, romper el principio de equivalencia): categorías equivalentes, puede tener no isomorfos de conjuntos de objetos. Así que decir que una categoría es un conjunto de objetos, junto con un conjunto de flechas que tienen una cierta estructura" es incorrecta desde esta perspectiva.

Es cierto que si se tiene un conjunto de objetos y un conjunto de flechas con la estructura apropiada de obtener una categoría, y también es cierto que cualquier categoría puede ser obtenida de esta manera, pero no se puede recuperar el conjunto de objetos y el conjunto de flechas de la categoría sin romper el principio de equivalencia. En cierta medida, el conjunto de los objetos y de las flechas con la estructura adecuada es una "presentación" de su categoría.

Lo que es significativo, aunque (es decir, respeta el principio de equivalencia) es que una categoría tiene un "groupoid de los objetos" $X$, con un bifunctor $Hom : X \times X \rightarrow Set$

Desde el punto de vista del principio de equivalencia, una categoría es realmente un groupoid con la estructura. Por otra parte, esta estructura es muy natural categorification de la noción de poset:

• Un poset es un conjunto X con una función de $X \times X \rightarrow Prop$ la satisfacción de la reflexividad, anti-simetría y transitividad.

• Una categoría es un groupoid $X$ con un functor $X \times X \rightarrow Sets$, satisfacer algunas condiciones. La reflexividad corresponde a la existencia de una identidad, la transitividad corresponde a la composición de la operación, y anti-simetría se corresponde con el hecho de que al final uno quiere $X$ a ser el núcleo groupoid de la categoría.

Pero si realmente se toma el principio de la equivalencia en serio, no se puede definir lo que es un "groupoid" es, usted tiene que tomar como una noción primitiva que axiomatize. Pero esto no es muy diferente del hecho de que usted no puede definir lo que es un "Conjunto", sólo puede axiomatize lo que puede hacer con los juegos.

Es en este sentido que groupoids son "conjuntos de dimensiones superiores" y las categorías son groupoids con una estructura. Esto ha sido aún más claro con la teoría de la $(\infty,1)$-categorías, donde es completamente claro que $\infty$-groupoids de jugar el rol que establece jugado para el común de las categorías. (El $(\infty,1)$categoría Yoneda lema es, en términos de functors a la categoría de $\infty$-groupoids etc...)

Otra forma de decir esto es que en el $n$categoría jerarquía "0-groupoid"s son sólo sets, mientras que $0$-categorías se posets (si usted lo considera como $(n,1)$-categorías para la variable $n$...)

Answer 2

Las otras respuestas son muy buenas y no hay nada malo con ellos, pero que no sea una impresión equivocada ser dado (por ejemplo, por la sugerencia implícita de que la idea de "categorías como se establece en la siguiente dimensión" en los primeros trabajos en las categorías superiores era "malo"), quiero añadir que, si bien Voevodsky es, por supuesto, correcto desde un cierto punto de vista, hay otro punto de vista válido, según la cual las categorías son, de hecho, "establece en la siguiente dimensión".

El punto es que usted tiene que tener dos ejes ortogonales de "dimensión". David Corfield mencionado brevemente en un comentario: en lugar de $n$-categorías, considere la posibilidad de $(n,r)$-categorías: las categorías con que (potencialmente) no trivial $k$-morfismos para $0\le k\le n$, pero donde todos los $k$-morfismos son invertible para $k>r$. Aquí "0-morfismos" son objetos, y no tiene sentido pedir por ellos para ser invertible, por lo $r\ge 0$. Así, por ejemplo:

• A (1,1)-categoría 1 categoría en el sentido habitual: los objetos (0-morfismos) y las flechas (1-morfismos), no se requiere ser invertible.
• Un (1,0)-se trata de una categoría groupoid: los objetos y las flechas, pero las flechas están obligados a ser invertible.
• A (2,2)-categoría 2 categoría en el sentido habitual: los objetos, las flechas, y 2-las células, no se requiere ser invertible.
• A (2,1)-categoría 2 categoría en la que todos los 2-las células son invertible, pero cuyo 1-morfismos no puede ser, es decir, una categoría (tal vez débilmente) enriqueció a lo largo de groupoids.
• A (2,0)-se trata de una categoría de 2 groupoid: 2-categoría en la que todos los 1-morfismos y 2-morfismos son (quizás débilmente) es invertible.
• Una $(\infty,0)$-categoría es un $\infty$-groupoid: tiene células de toda dimensión, todos invertible.
• Una $(\infty,1)$-categoría es lo que Lurie llamadas de la escuela un "$\infty$-categoría: tiene morfismos de toda dimensión, todos invertible, excepto el 1-morfismos.
• A (0,0) de la categoría es un conjunto: sólo los objetos, no invertibility requisitos.

Ahora usted podría pensar que a partir de la definición de $(n,r)$-categoría que tendría $r\le n$. Pero en realidad no es una forma natural para extender para el caso de $r=n+1$. Para cuando $r\le n$, podemos identificar a $(n,r)$-categorías (hasta equivalencia) como $(n+1,r)$-categorías en las que cualquiera de los dos paralelos $(n+1)$-morfismos son iguales. Entonces podemos tomar el último, cuando se $r=n+1$ como una definición de la $(n,n+1)$-categoría. Esto nos da:

• Un (0,1)-categoría 1 categoría en la que cualquiera de los dos en paralelo 1-morfismos son iguales, es decir, (hasta equivalencia) un poset.
• A (1,2)-categoría es una categoría enriqueció a lo largo de posets, o, equivalentemente, un 2-categoría en la que todos los hom-categorías se posets.

Ahora podemos ver cómo el "levantamiento de la dimensión" paso que Voevodsky fue el pensamiento de la toma de los conjuntos de groupoids y posets categorías: añadir sólo un a $n$ en $(n,r)$.

• $(0,0) \mapsto (1,0)$
• $(0,1) \mapsto (1,1)$

Pero hay otra natural "aumentar la dimensión de" el paso que hace, de hecho, tomar conjuntos de categorías: añadir un tanto $n$ e $r$.

• $(0,0) \mapsto (1,1)$

Desde que en el uso común "$n$-categoría" de $n\ge 1$ se refiere a una $(n,n)$-categoría, por lo tanto, es muy natural decir que es fija, es decir, (0,0)-categorías, merecen el nombre de "0-categorías", mientras que el de posets debe ser llamado (0,1)-categorías.

Así que creo que Voevodsky fraseo de su avance puede haber sido un poco demasiado dogmático. El punto no es que es "malo" de la relación de categorías como se establece en la siguiente dimensión (o al menos una nueva dimensión). El punto es, que es también válido con respecto groupoids como se establece en la siguiente dimensión, y que este último punto de vista es muy fructífero, líder en particular a univalentes los cimientos, pero también (algo separado) al reciente boom de las $(\infty,1)$-categoría y $(\infty,n)$-categoría de teoría.

Answer 3

Aunque esta respuesta puede ser visto como una expansión de las dos últimas líneas de Simon respuesta, en realidad no vienen en el mismo espíritu.

Desde el punto de vista de la enriquecido categoría de teoría, posets son categorías enriquecido sobre el álgebra de boole $2=\{\bot < \top\}$. Muy a menudo esta enriquecido categoría de teoría se llama $0$-categoría de teoría.

$$\text{Pos} = 0-\text{Cat}. $$

El concepto de groupoid no es dependiente de enriquecimiento, sino la encarnación de tal. Cuando uno mira a groupoids en este contexto, los conjuntos de surgir. Sería mejor decir discretos posets.

$$ \text{Sets} = 0-\text{Grpd}. $$

Obviamente, el cambio de sitio de enriquecimiento de $2$ a un Conjunto de uno se que los Gatos se Establecen Categorías y Grpds son Groupoids.

$$\text{Cat} = \text{Set}-\text{Cat}, $$ $$\text{Grpd} = \text{Set}-\text{Grpd}. $$

Muy a menudo, especialmente en el contexto de homotopy teoría, el Conjunto de la categoría de teoría se llama $1$-categoría de teoría.

Para acercarnos más a Simon de la respuesta, se debe observar que técnicamente $0$-groupoids corresponden a setoids y no se establece. Por varias razones, especialmente en estos días de homotopy tipo de teóricos, setoids podría ser más conveniente la categoría de conjuntos.

Hablando de posets, que corresponden a esqueléticos $0$-categorías, mientras que $0$-categorías son las pre-ordenes.

Answer 4

No puedo decir exactamente qué Voevodsky quería decir, pero aquí es una conjetura.

Descargo de responsabilidad en lo que sigue, yo uso fuertemente tipo teórico de la notación, por lo que tiene problemas para entender dude en preguntar en los comentarios.

En constructivo, específicamente de tipo teórico, la configuración se suele definir conjuntos de pares de la forma $(X,=)$ donde $(=)$ es una relación de equivalencia, que en el contexto de la teoría tipo es básicamente un tipo dependiente de la forma $X \to X \to Type$ ($X \times X \to Type$ si usted no se siente cómodo con alarmada) tales que

• para cada una de las $x,y \colon X$ el tipo de $x = y$ es un singleton o el vacío de tipo
• la relación es reflexiva, que es para todos los $x$ tenemos que $x = x$ es un singleton, lo que significa que tenemos una función que envía cada $x \in X$ en el inly elemento de $x = x$ que es un elemento del tipo $\prod_{x \colon X} (x = x)$
• transitiva, es decir, para cada una de las $x,y,z \colon X$ si $x = y$ e $y = z$ son tanto habitados, por lo que son de singleton tipos, a continuación, también se $x = z$ está habitado, que en el tipo de teoría es equivalente a requerir que hay un elemento de tipo $\prod_{x,y,z \colon X} (y=z) \times (x=y) \to (x=z)$
• simétrica, lo que significa que si $x = y$ es el singleton tipo(es decir, está habitado) $y = x$ es un singleton tipo así, que de nuevo tipo en teoría significa que no es un habitante del tipo $\prod_{x,y} (x = y) \to (y=x)$.

En este marco de un poset (para ser honesto, un conjunto preordenado) se puede definir bastante mucho la misma manera sólo colocar el simétrica-requisito anterior: así que un poset está dado por un tipo de $X$ con un tipo dependiente $\leq \colon X \to X \to Types$ cuyos valores son sólo los únicos o los vacíos tipo con un dependiente de la función en $r \colon \prod_{x \colon X} x \leq x$ (withnessing la reflexividad de $\leq$) y dependiente de la función en $t \colon \prod_{x,y,z \colon X}(y \leq z) \times (x \leq y) \to (x \leq z)$ (withnessing transitividad).

Si se le cae el singleton-o-vacío tipo de requisito en la definitons arriba y reemplazarla con la condición de

• para cada $x,y \colon X$ el tipo de $x \leq y$ es un conjunto, es decir, un tipo con una igualdad por encima de

y añade como requisito la existencia de elementos de los tipos

1. $\prod_{x,y,z,w \colon X}\prod_{f \colon x \leq y}\prod_{g \colon y \leq z}\prod_{h \colon z \leq w}(t(h,t(g,f)))=t(t(h,g),f))$
2. $\prod_{x,y \colon X}\prod_{f \colon x \leq y} (t(f,r(x))=f)$
3. $\prod_{x,y \colon X}\prod_{f \colon x \leq y} (t(r(x),f)=f)$

usted obtener la definición de una categoría.

Si reemplaza $\leq$ con $=$ agregar el elemento al tipo de $\prod_{x,y} (x=y)\to (y=x)$ y algunas otras cosas que obtener la definición de una groupoid.

Así que resumiendo, creo que el lema categorías son poset en la siguiente dimensión, significa que son transitivos, es decir, tipos con un transitiva y reflexiva dependiente del tipo de $\leq$, en el que $\leq$ es un conjunto que es un $1$-dimensiones del objeto (un tipo con la igualdad de relaciones entre sus elementos) en lugar de sólo una $0$-dimensiones del objeto (un tipo con más de un habitante).

En forma similar groupoids son los siguiente conjuntos de nivel porque son conjuntos, es decir, los tipos con un dependiente reflexiva, simétrica y transitiva tipo de $=$, en el que $x=y$ son conjuntos de $1$-objetos tridimensionales en lugar de sólo los embarazos únicos o vacíos de los tipos.

Espero que esto ayude.