¿La notación incorrecta ha conducido alguna vez a una prueba errónea?

Question

En matemáticas se introduce muchos diferentes tipos de notación, y a veces incluso un solo objeto o construcción puede ser representado por diferentes notaciones. Para tomar dos ejemplos, la derivada de una función $y = f(x)$ puede ser escrito $f'(x)$, $D_x f$, o $\frac{dy}{dx}$; mientras que la composición de morfismos en una categoría monoidal puede ser representado en lineal tradicional de estilo, de forma lineal, pero en el diagrama de orden, mediante la aglutinación de diagramas, uso de de la cadena de diagramas, o el uso de la lógica lineal / tipo de teoría. Cada notación tiene ventajas y desventajas, como la claridad, la concisión, la facilidad de uso para el cálculo, y así sucesivamente; pero incluso el más básico de estos, una notación debe ser correcta, en la que cada instancia válida de que en realidad denota algo, y que la sintáctica manipulaciones permitidas en la notación del mismo modo corresponden a las igualdades o de operaciones sobre los objetos denotados.

Matemáticos que introducir y usar una notación no suelen estudio de la notación formal o demostrar que es correcta. Pero a pesar de esta tarea es trivial hasta el punto de vacuidad por simples anotaciones, para la más complicada de las notaciones que se convierte en un compromiso sustancial, y, en muchos casos, nunca ha sido completado. Por ejemplo, en el Joyal-Calle La geometría del tensor de cálculo que tomó un poco de trabajo importante para demostrar la exactitud de la cadena de diagramas para monoidal categorías, mientras que el análogo de la cadena de diagramas usado para muchas otras variantes de monoidal categorías han sido, en muchos casos, nunca se ha demostrado correcta de la misma manera. Del mismo modo, la corrección de los "Cálculo de Construcciones" dependiente del tipo de teoría como una notación para una especie de "contextual categoría" tomó un montón de trabajo para Streicher a demostrar en su libro la Semántica de la teoría tipo, y la mayoría de los otros dependientes del tipo de teorías no han sido de forma análoga demostrado ser correcta como notaciones para la categoría de teoría.

Mi pregunta es, entre todas estas anotaciones, que nunca han sido oficialmente confirmadas, dispone de alguno de ellos, en realidad, resultó ser incorrecto y llevó a los errores matemáticos?

Esta puede ser una pregunta ambigua, así que voy a intentar aclarar un poco lo que estoy buscando y lo que yo no estoy buscando (y, por supuesto, me reservo el derecho de aclarar aún más en respuesta a los comentarios).

En primer lugar, sólo estoy interesado en los casos donde el subyacente de las matemáticas fue precisamente definido y correcto, desde una perspectiva moderna, con el error solo acostado en una incorrecta anotación o un uso incorrecto de esa notación. Así, por ejemplo, los errores cometidos por los primeros pioneros en el cálculo debido a la imprecisa noción de "infinitesimal" obedecer (lo que ahora consideramos como la mala reglas definidas no cuentan; de ahí el problema fue con las matemáticas, no (sólo) de la notación.

En segundo lugar, sólo estoy interesado en los casos donde se cometió el error y, al menos temporalmente cree públicamente por el profesional (o aficionados) matemático(s). Entradas de Blog y arxiv preprints contar, pero no en conversaciones privadas en un pizarrón, y no de los errores cometidos por los estudiantes.

Un ejemplo de el tipo de cosa que yo estoy buscando, pero que (probablemente) no satisface este último criterio, es la siguiente derivación de una incorrecta "regla de la cadena para la derivada segunda" el uso de diferenciales. En primer lugar aquí está una correcta derivación correcta de la regla de la cadena para la derivada primera, basado en la derivada de la notación $\frac{dy}{dx} = f'(x)$:

$$\begin{align} z &= g(y)\\ y &= f(x)\\ dy &= f'(x) dx\\ dz &= g'(y) dy\\ &= g'(f(x)) f'(x) dx \end{align}$$

Y aquí es incorrecta, que se basa en la derivada segunda de la notación $\frac{d^2y}{dx^2} = f''(x)$:

$$\begin{align} d^2y &= f''(x) dx^2\\ dy^2 &= (f'(x) dx)^2 = (f'(x))^2 dx^2\\ d^2z &= g''(y) dy^2\\ &= g''(f(x)) (f'(x))^2 dx^2 \end{align}$$

(El correcto segunda derivada de $g\circ f$ es $g''(f(x)) (f'(x))^2 + g'(f(x)) f''(x)$.) El problema es que la segunda derivada de la notación $\frac{d^2y}{dx^2}$ puede ser tomado en serio como una "fracción" de la misma manera que $\frac{dy}{dx}$ puede, por lo tanto las manipulaciones que se justifica son incorrectos. Sin embargo, no estoy al tanto de este error cada vez que se ha hecho y cree en público por una grave matemático que entendió el significado preciso de los derivados, en un sentido moderno, pero sólo fue desviado por la notación.

Edición 10 de Agosto De 2018: Esta pregunta ha atraído a algunas respuestas interesantes, pero ninguno de ellos es bastante lo que estoy buscando (aunque Joel viene el más cercano), así que permítanme aclarar. Por "una notación" me refiero a una sistemática de recogida de validez de la sintaxis y reglas para el manejo de la sintaxis. No tiene que ser completamente formalizada, pero se debe aplicar a muchos ejemplos diferentes de la misma manera, y ser entendido por varios matemáticos-por ejemplo, una persona que escribe $e$ a la media de dos números diferentes en el mismo papel, no cuenta. Cadena de diagramas y categórica tipo de teoría son los verdaderos tipo de ejemplos que tengo en mente, mi no-ejemplo de las diferencias es el límite, pero en teoría podría ser elaborado en un sistema de sintaxis para "diferencial de los objetos" que pueden ser quotiented, diferenciado, multiplicado, etc. Y por decir que la notación es incorrecta, me refiero a que el "entendido" forma de interpretar la sintaxis como objetos matemáticos, no es en realidad bien definida, en general, o que las reglas para manipular la sintaxis no corresponden a la forma de los objetos que realmente se comportan. Por ejemplo, si resulta que la cadena de diagramas de algún tipo de categoría monoidal fueron no en realidad invariantes bajo las deformaciones, que sería un ejemplo de una incorrecta notación.

Puede ayudar si me explique un poco más acerca de por qué estoy preguntando. Estoy buscando argumentos a favor o en contra de la afirmación de que es importante para formalizar anotaciones como esta y demostrar que están en lo correcto. Si anotaciones a veces llegar a ser malo, entonces eso es un buen argumento que debemos asegurarnos de que estén bien! Pero al contrario, si en la práctica los matemáticos lo suficientemente buenas intuiciones cuando la elección de anotaciones que nunca llegar a estar mal, entonces, que se trata de algún tipo de argumento que no es tan importante para formalizar ellos.

Answer 1

Aquí un ejemplo de la teoría de conjuntos.

Conjunto de teóricos comúnmente estudio no sólo de la teoría de la $\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}\ZFC$ y sus modelos, sino también de diversos fragmentos de esta teoría, como la teoría a menudo denotado $\ZFC-{\rm P}$ o, simplemente,$\ZFC^-$, que no incluye el juego de poder axioma. Se pueden encontrar numerosos ejemplos en la literatura donde los autores simplemente definen $\ZFC-{\rm P}$ o $\ZFC^-$ como "$\ZFC$ sin el poder conjunto de axiomas."

La notación que sugiere la idea de que uno es restar el axioma de la teoría, y por esta razón, me parece que es la instancia de incorrecta la notación, en el sentido de la pregunta. El problema, como ves, es que el proceso de eliminación de los axiomas de una teoría no está bien definida, ya que los diferentes axiomizations de la misma teoría puede no ser equivalente cuando uno cae un axioma común.

Y, de hecho, que es exactamente la situación con $\ZFC^-$, el cual fue finalmente realizado. Es decir, la teoría de la $\ZFC$ puede ser equivalentemente axiomatized utilizando el axioma de reemplazo o la colección axioma además de la separación, y estos diferentes enfoques para el axiomatization son muy comúnmente en la práctica. Pero Zarach demostrado que sin el poder conjunto de axiomas, la sustitución y la colección no son equivalentes.

• Zarach, Andrzej M., Reemplazo de $\nrightarrow$ colección, Hájek, Petr (ed.), Gödel '96. Fundamentos lógicos de la matemática, la informática y la física, Kurt Gödel del legado. Actas de una conferencia, Brno, República checa, agosto de 1996. Berlin: Springer-Verlag. Lect. Notas De Registro. 6, 307-322 (1996). ZBL0854.03047.

Él también demostró que las diversas formulaciones equivalentes del axioma de elección no son equivalentes, sin el poder conjunto de axiomas. Por ejemplo, el principio de orden es estrictamente más fuerte que la elección conjunto de principio sobre $\text{ZF}^-$.

Mis coautores y yo discutimos esto en longitud y extender el análisis más detallado en:

• Gitman, Victoria; Hamkins, Joel David; Johnstone, Thomas A., ¿Qué es la teoría ZFC sin el poder establecido?, De matemáticas. Registro. P. 62, N ° 4-5, 391-406 (2016), DOI:10.1002/malq.201500019, ZBL1375.03059.

Hemos encontrado casos en la literatura anterior, donde los investigadores, incluyendo a algunos destacados investigadores (y también a algunos de nuestros propios antes de la obra publicada), se describe su teoría en un camino que conduce realmente a la versión incorrecta de la teoría. (Sin embargo, todos estos casos se pueden corregir fácilmente, simplemente mediante la definición de la teoría correctamente, o mediante la verificación de la colección, en lugar de meramente de reemplazo; por tanto, en este sentido, en definitiva, no hay motivo de preocupación.)

Answer 2

Este podrían no contar, pero si usted comienza con un director de $G$-bundle $f:P\rightarrow B$, hay dos maneras naturales para poner un $G\times G$ estructura del bundle $P\times G\rightarrow B$ dado por $(p,b)\mapsto f(p)$. Debido a que es el estándar de la práctica de anotación para denotar un paquete simplemente escribiendo el mapa de $P\times G\rightarrow B$, no hay nada en la notación para distinguir entre estas estructuras, y por lo tanto la notación lleva a creer que son el mismo.

Siguiendo esta iniciativa, Ethan Semejante "prueba" de aquí que el $K$-teoría de la $B$ es trivial, para cualquier base de espacio $B$. Él informa que tomó tres Princeton estudiantes de posgrado (incluido él mismo) algunos no trivial esfuerzo antes de encontrar el error.

Esto podría cumplir con la letra de su criterio en virtud de haber hecho en la impresión, pero probablemente viola el espíritu, porque el autor ya había descubierto el error, y de hecho el punto de que el papel era para llamar la atención.

Answer 3

Esto probablemente no será considerado como un grave error, pero tal vez se cuenta:

De acuerdo a Dray, Manogue si hacer la siguiente pregunta a los científicos:

Suponga que la temperatura en una losa rectangular de metal está dada por $T(x,y)=k(x^2+y^2)$ donde $k$ es una constante.

¿Qué es $T(r,\theta)$?

R: $T(r,\theta)=kr^2$
B: $T(r,\theta)=k(r^2+\theta^2)$
C: Ni

la mayoría de los matemáticos elegir B, mientras que la mayoría de los otros científicos elija A.

(No sé si este experimento fue hecho en gran escala. Sé que algunas personas que estudió matemáticas y han tratado de argumentar que Una es la respuesta correcta.)

Esta cuestión se llama Corinne del Shibolleth en este artículo de Rojizo y Kuo, donde se discuten más adelante.

Answer 4

Ramanujan los cuadernos son un interesante caso de estudio. Como se discutió en detalle en el Capítulo 24 ("Ramanujan la Teoría de los Números Primos") del Volumen IV de Bruce Berndt la serie de Cuadernos de Ramanujan, Ramanujan realizado una serie de errores en su estudio de la $\pi(x)$, el número de números primos menores o iguales a $x$. Es difícil decir con certeza que estos errores son específicamente debido a Ramanujan la notación en vez de algún otro error de concepto, pero creo que el hecho de que su anotación fue un factor contribuyente. Por ejemplo, Berndt escribe:

No está claro a partir de los cuadernos de cómo exacta Ramanujan pensó que sus aproximaciones $R(x)$ e $G(x)$ a $\pi(x)$ fueron. (Ramanujan siempre se utiliza la igualdad de los signos en los casos donde el uso de los signos $\approx$, $\sim$, o $\cong$.) Según Hardy, Ramanujan, de hecho, afirmó que, como $x$ tiende a $\infty$, $$\pi(x)-R(x) = O(1) = \pi(x) - G(x),$$ ambos de los cuales son falsos.

Uno podría, por tanto, argumentar que Ramanujan uso descuidado de la igualdad signos contribuido a su sobreestimar la exactitud de sus aproximaciones. Por otro lado, también se podría argumentar que Ramanujan del error fue el más fundamental, trazable a su insuficiente comprensión de la compleja ceros de la función zeta.

Ramanujan también se utiliza (en efecto), la notación $d\pi(x)/dx$, y se podría argumentar que algunos de sus malentendidos fueron trazable a no tener una adecuada definición de la notación $d\pi(x)/dx$, y sin embargo, asumiendo que denota un claro objeto matemático con propiedades específicas. Ramanujan era consciente de la necesidad de algún tipo de justificación, porque Hardy expresó sus objeciones, y trató de defender a su notación (en este contexto, $n=\pi(x)$):

Creo que estoy en lo correcto en el uso de $dn/dx$ que no es el coeficiente diferencial de una función discontinua, pero el diferencial coeficiente promedio de una función continua pasando bastante (aunque no exactamente) a través de los puntos aislados. He utilizado $dn/dx$ en hallar el número de números de la forma $2^p3^q$, $2^p+3^q$, etc., menos de $x$ y que han obtenido resultados correctos.

Sin embargo, como Berndt explica, Ramanujan la defensa es insuficiente. Para más información, recomiendo la lectura de todo el capítulo.

Answer 5

Conozco algunos artículos que discuten ciertos polinomios de Macdonald en la introducción (y la motivación) en la introducción, y luego procedo a estudiar las propiedades de otra familia de polinomios.

Los polinomios particulares que se estudian no son los mismos que en los polinomios de Macdonald en la introducción (solo similares), pero se usa exactamente la misma notación / símbolo para estas dos familias de polinomios.