Los números de Fibonacci y los ceros no triviales de la función zeta de Riemann

Question

¿Es este un coincidencia matemática ? Para $n=1,\dots,7$ : $$ \left\lfloor \prod_{k=1}^n \arg\left(\rho_k\right)\right\rfloor = F_{n+1}, $$ donde $\arg$ es el argumento complejo , $\rho_n$ es el $n$ th cero no trivial de la Función zeta de Riemann y $F_n$ es el $n$ th Número de Fibonacci . Lo he comprobado experimentalmente.

Para los más grandes $n$ valores he comprobado que para $n = 1,\dots,800$ : $$ F_{n+1} - \prod_{k=1}^n \arg\left(\rho_k\right) + 1 > 0. $$

No he encontrado ningún contraejemplo.

Answer 1

Esto no es tan sorprendente como podría parecer. Permítanme abordar primero su segunda observación y esbozar una prueba de que es válida para todos $n$ . Se sabe que todos los ceros no triviales $s$ se encuentran en la "franja crítica" $0<\Re(s)<1$ donde $\Re$ es la parte real de un número complejo. Observa que cuanto más nos alejemos del eje real, más se acercará el argumento de cualquier número de esta franja a $\frac{\pi}2$ por lo que esperamos que el producto de su pregunta sea aproximadamente $\left(\frac{\pi}2\right)^n$ pero siempre estrictamente menos. Los números de Fibonacci son asintóticos a $\varphi^n$ (donde $\varphi$ es la proporción áurea). Dado que $\varphi > \frac{\pi}2$ finalmente los números de Fibonacci dominarán el producto en cuestión, lo que explica su segunda observación. Esto puede extenderse fácilmente a una prueba formal del hecho.

Esto también nos da una pista sobre por qué los números de Fibonacci están tan cerca del producto en cuestión - $\varphi$ y $\frac{\pi}2$ están muy próximas entre sí, por lo que si las series están lo suficientemente alineadas para empezar, probablemente se mantendrán así durante un tiempo, que es exactamente lo que observamos. En particular, observemos que, $\frac{\pi}2$ es más que $F_2=1$ El hecho de que nuestro producto sea eventualmente menor que la secuencia de Fibonacci significa que las cosas se están "juntando" por el momento, permitiendo que la coincidencia persista un tiempo.

Para ilustrarnos, mire dos límites para su producto. Para $n=\{1,2,\ldots,7\}$ tenemos el siguiente límite superior y luego inferior: $$\left\lfloor\left(\frac{\pi}2\right)^n\right\rfloor=\{1,2,3,6,9,15,23\}$$ $$\lfloor\operatorname{arg}(\rho_1)^n\rfloor=\{1,2,3,5,8,13,20\}$$ donde el verdadero producto está en algún lugar entre ellos. Ya estamos bastante cerca de la secuencia de Fibonacci sin importar qué, y el verdadero valor sólo tiene un poco de suerte y lo golpea justo.

En resumen: esto es sobre todo una coincidencia de cómo $\frac{\pi}2$ y $\varphi$ están cerca uno del otro, y la elección particular de $\operatorname{arg}(\rho_n)$ en lugar de $\frac{\pi}2$ templa las cosas "lo suficiente" para que todo funcione, pero la coincidencia no depende de demasiadas particularidades de la función zeta de Riemann.