Colectores aleatorios

Question

En el mundo de la geometría algebraica real no son naturales probabilística de las preguntas que puede hacer: usted puede hacer sentido de un azar hipersuperficie de grado d en algunos proyectiva del espacio y preguntar acerca de sus expectativas de topología en la que "se espera" tiene sentido porque hay medidas razonables en el espacio de hypersurfaces. Ver Welschinger-Gayet http://arxiv.org/abs/1107.2288 y http://arxiv.org/abs/1005.3228 para los recientes avances en estas preguntas (por ejemplo, lo que se espera que el número de Betti de un real aleatorio hipersuperficie de grado d?).

En la geometría más general, usted puede querer hacer declaraciones como "un general del colector es esférico" o "un general del colector ha positiva simplicial de volumen". Parece difícil la construcción de medidas razonables para que estas preguntas tienen respuestas: para hablar acerca de la probabilidad se necesita alguna forma de producción de colectores (y, a continuación, distinguiendo ellos) en una forma aleatoria.

Sin embargo, Cheeger demostrado que fija L no es sólo un conjunto finito $D_L$ de diffeomorphism clases de colector de admisión de una métrica de Riemann con curvaturas seccionales delimitada por encima de la norma por L, el volumen delimitado por debajo de 1/L y el diámetro acotada arriba por L (ver el primer teorema de Peters "Cheeger del teorema de finitud para diffeomorphism clases de Riemann colectores" http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1984.349.77). Esto significa que usted puede hacer preguntas como "¿cuál es el promedio del total del número de Betti de un colector en $D_L$" y "¿cómo este aumento con L?" (hay exponencial límites superior?), o uno puede tratar de hacer sentido de que el límite de $L\rightarrow\infty$ de la proporción de colectores en $D_L$ con cero simplicial de volumen.

¿Se conocen respuestas concretas a estas preguntas, u otras formulaciones de las preguntas que conducen a respuestas?

Answer 1

Para definir un random $n$-colector normalmente es necesario definir una complejidad en el set $\mathcal M_n$ de todos los $n$-colectores de que usted quiera considerar, que satisface una finitud de la propiedad: para cada $k$, sólo hay un número finito de colectores de tener la complejidad en la mayoría de las $k$. Hay varias maneras de hacer esto en una combinatoria marco.

El número mínimo de simplexes $t(M)$ en una triangulación de $M$ es un ejemplo natural. Creo que no se conoce mucho sobre aleatorio colectores en este contexto. Desde $t$ es de aproximadamente subadditive conectado sumas de dinero, de un azar del colector puede ser conectado suma de muchos colectores y sería, por lo tanto, lejos de ser esférico. En la dimensión 3, uno puede restringir a la irreductible de los colectores. Podría parecer razonable esperar que en este conext al azar 3-colector es hiperbólica, pero este es todavía desconocido. El primer segmento de $t(M)\leq 11$ muestra un gran número de gráfico de colectores, vea las tablas aquí y aquí. El difícil punto aquí es que es muy difícil estimar tal complejidad desde abajo, incluso de simples colectores como objetivo espacios. Como un ejemplo, el número de hiperbólico colectores de tener la complejidad menor que $t$ crece de manera exponencial con $t$, y el número de la lente de espacios es conjecturally aproximadamente el $2^t$. Sin embargo, creo que todavía no somos capaces de decir que el número de lente espacios no crece más de manera exponencial. Otro hecho que demuestra nuestra ignorancia en este conext es la siguiente: todavía no sabemos si el número de la triangulación de los tres-esfera crece exponencialmente con el número de tetraedros, ver Gromov las preguntas recientes.

Como se ha señalado por Jean-Marc Schlenker, hay otra natural de la complejidad en la dimensión 3, que es más fácil de tratar y da varios buenos resultados: podemos considerar el conjunto más pequeño $\mathcal M_3^g$ de todas las 3-variedades de descomposición en dos género-$g$ handlebodies. Un colector no está determinada por un elemento de la clase de asignación de grupo MCG de la superficie de la $\Sigma_g$ de género $g$, y después de la fijación de un conjunto de generadores para el MCG podemos definir la complejidad de un elemento como la longitud mínima de una palabra que la representa. Muchos de los resultados se han obtenido en este contexto por Nathan Dunfield (con D. y W. Thurston, y H. Wong), Juan Souto y otros.

En la dimensión 4 existen diversas combinatorias de las nociones de complejidad se pueden usar, pero son difíciles de tratar. Uno puede utilizar Kirby diagramas para representar a 4-variedades y definir una complejidad contando el número de cruces en los diagramas de como lo hice aquí. Es muy fácil producir dobles de 2-handlebodies en este contexto (dibuje un diagrama de azar y añadir pequeñas 0-enmarcado unknots que rodea cada componente) y para realizar blow-ups, así que supongo que en este contexto la mayoría de los colectores son de este tipo: estos colectores son nunca asféricas y han simplicial norma cero. En este contexto, Auckly ha demostrado que existe una gran discrepancia entre homeomórficos y diffeomorphic clases de colectores: el número de simplemente conectados a los colectores de la complejidad de la a a $n$ visto hasta homeomorphism crece como $n^2$, mientras que el número de simplemente conectado colectores visto hasta diffeomorphism crece más de polinomially.

Answer 2

Permítanme añadir un par de comentarios muy buenas respuestas de arriba. De hecho, hay dos documentos importantes por Nathan M. Dunfield y William P. Thurston con una definición de azar de 3-variedades. El primer papel Finito cubre al azar de 3-variedades discutir las ventajas del modelo propuesto en comparación con otros modelos. En el documento también se compara la situación con las anteriores nociones y resultados acerca de azar a los grupos. El virtual Haken conjetura es la central de motivar a la pregunta. (Mucho se llevó a cabo recientemente sobre esta y otras cuestiones conexas.) El segundo trabajo de ellos es El virtual Haken conjetura: Experimentos y ejemplos. Estos documentos están relacionados con los documentos anteriores sobre "al azar a los grupos" de diversos tipos, y resultó ser conectado a las nociones de "crecimiento" de los grupos, a las propiedades de T y $\tau$, y para ser relacionados con el tamiz de los cálculos (véase, por ejemplo, en este documento, Kowalski).

Otro modelo natural de azar colectores se basa en el azar de las triangulaciones. Tenemos que recordar que como la dimensión crece es más difícil y más difícil de ser un colector. (Y también es difícil ser orientable.)

Una posibilidad es considerar las triangulaciones de d-colectores con n vértices y, alternativamente, se puede considerar triangulaciones con T facetas (es decir, T d-dimensional simplices). Estos son bastante diferentes modelos. Son evidentes las conjeturas que no podemos demostrar: 1) es probable que la mayoría de los nidos 3-homología de las esferas no son esferas, (también es plausible que la mayoría de los nidos de las esferas no son PL, y que la mayoría de los PL esferas no shellable.)

2) es posible que el dual-gráfico de un triangular de la esfera (tal vez también en la homología de la esfera) determina la totalidad de la triangulación. Esto no es conocida,

3) No es un simple cálculo por lo que el máximo de la característica de Euler de un d-dimensional colector con n vértices debe ser, cuando d es incluso. Es probable que la mayoría de d-colectores de alcanzar o acercarse a este máximo. Esto no es conocido y por la dimensión > 2 no sólo son finitos ejemplo de colectores de alcanzar el máximo propuesto.

4) es un gran misterio cómo muchas triangulaciones de d esferas hay con T facetas. (exponencial en T o más). Esto también puede ser solicitado por los colectores.

Answer 3

En una dirección ligeramente diferente, existen nociones naturales (pero probablemente no definidas de manera única, de superficies aleatorias, y también de 3 múltiples al azar, como en este artículo de Dunfield y Thurston, basadas en divisiones de Heegaard. Para esas nociones de aleatoriedad no hay hipótesis de curvatura) Pero no parece obvio cómo generalizarlos en una dimensión superior.

Answer 4

También es posible que desee ver el trabajo de Nati Linial y Roy Meshulam, Eric Babson, Matt Kahle, et al, sobre complejos simpliciales aleatorios. Puede definir una "variedad aleatoria" condicionando su complejo para que sea una variedad, aunque nadie ha logrado hacerlo de una manera útil. Aún así, esta es una generalización muy natural de los gráficos aleatorios de Erdos-Renyi, y es algo manejable.

Answer 5

Aquí hay tres referencias que hablar de la construcción y de las propiedades relacionadas con el de "random de Riemann colectores." La construcción está relacionada con grafos aleatorios y es "un método aleatorio de las superficies de Riemann basado en la asociación de un denso conjunto de ellos - Belyi superficies - con random cúbicos gráficos".

Al azar de la Construcción de Superficies de Riemann Robert Brooks, Eran Makover http://arxiv.org/abs/math/0106251

Eran Makover coautor de otros dos papeles:

• La longitud de cerrado geodesics aleatorias de las Superficies de Riemann Eran Makover, Jeffrey McGowan

• En el Género de un Azar Superficie de Riemann Alexander Gamburd, Eran Makover