¿Cuántos cubos cubren un cubo más grande?

Question

Cuántas $n$-dimensiones de la unidad de cubos se necesitan para cubrir un cubo con la cara longitudes $1+\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$?

Para n=1, la respuesta es, obviamente, dos. Para n=2, el dibujo de abajo muestra que tres unidades de cubos suficiente, pero es imposible el uso de sólo dos cubos. En general, un total de $n+1$ cubos es suficiente, como se muestra en Agol la respuesta, pero no es este el número más pequeño posible?

Answer 1

Voy a ampliar mi comentario en una respuesta. Siguiente Serre sugerencia en los comentarios, para mostrar que $n+1$ unidad de cubos de cubrir un $n$-cubo de lado longitudes $1+\epsilon$ para algunos $\epsilon > 0$, es suficiente para mostrar que uno puede ajustar una unidad de $n-1$-cubo en el interior de una unidad de $n$-cubo. Si usted puede hacer esto, entonces usted puede caber una $1+\epsilon$ $n-1$-cubo en el interior de una unidad de $n$-cubo para algunos $\epsilon$. Como Serre sugiere, entonces usted puede tomar un vértice de la $1+\epsilon$ $n$-cubo, y cubrir cada una de las $n$ $n-1$-cubo de caras que contienen por una unidad de $n$-cubo. A continuación, se puede utilizar otro $n$-cubo para cubrir la antipodal vértice y el resto del cubo, posiblemente por una menor $\epsilon$. Este caso $n=2$ está en la imagen dada en la pregunta. Como proyecto de Ley señala en los comentarios, uno necesita una explicación de por qué un $n-1$-cubo encaja en el interior de la $n$-cubo.

A ver que una unidad de $n-1$-cubo encaja en el interior de una $n$-cubo, se puede proceder por inducción. Esto es cierto para $n=1$. Deje $I=[0,1]$. Por inducción, supongamos que tenemos una incrustación $f: I^{n-1}\to int(I^n)$. A continuación, tenemos una incrustación $f\times Id: I^{n-1}\times I \to int(I^n)\times I$. Esto le da un mapa que toca el límite de $I^{n+1}$ sólo a lo largo de $f(I^{n-1})\times \{0,1\}$. Piense en esto como un mapa $f×e:I^{n−1}\times I\hookrightarrow f(I^{n−1})\times D^2\subset f(I^{n−1})\times I\times \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ es solo la normal paquete a $f(I^{n-1})\times I \subset I^n\times I = I^{n+1}$). A continuación, gire el intervalo de $I$ en $D^2$ por un pequeño ángulo de $\theta$ para obtener un mapa de $e_{\theta}:I\to D^2\subset I\times \mathbb{R}$. Los extremos ya no se encuentran en $\{0,1\}\times \mathbb{R}$. A continuación, el mapa de $f \times e_{\theta}: I^{n-1}\times I \to f(I^{n-1})\times D^2$ tendrá la imagen en $int(I^{n+1})$ para las pequeñas suficiente $\theta$.