Espacios no-homogéneos que tienen biyecciones continuas entre ellos

Question

Cuáles son los buenos ejemplos de espacios topológicos $X$ y $Y$ tal que $X$ y $Y$ son no homeomórficos pero existen biyecciones continuas $f: X \to Y$ y $g: Y \to X$ ?

Answer 1

Sé que esto es súper viejo, pero alguien volvió a preguntar lo mismo ( Espacios topológicos no homeóticos ) y por eso quería compartir una "prueba por imagen" que resuelve la cuestión.

(Se me ocurrió hace unos años cuando estaba corrigiendo un examen en el que alguien afirmaba que $X$ y $Y$ son necesariamente homeomórficos).

Por supuesto, esto es sólo un caso especial de la respuesta aceptada anteriormente. Pero creo que es agradable imaginarlo de forma geométrica...

Answer 2

Reciclando un viejo (ca. 1998) post de sci.math:

" Alguien conoce un ejemplo de dos espacios topológicos $X$ y $Y$ con biyecciones continuas $f:X\to Y$ y $g:Y\to X$ tal que $f$ y $g$ no son homeomorfismos?

Dejemos que $X = Y = Z \times \{0,1\}$ como conjuntos, donde $Z$ es el conjunto de números enteros. Declaramos que los siguientes subconjuntos de $X$ están abiertas para cada $n>0$ . $$\{(-n,0)\},\ \ \{(-n,1)\},\ \ \{(0,0)\},\ \ \{(0,0),(0,1)\},\ \ \{(n,0),(n,1)\}$$ Esta es la base de una topología en $X$ .

Declaramos que los siguientes subconjuntos de $Y$ están abiertas para cada $n>0$ . $$\{(-n,0)\},\ \ \{(-n,1)\},\ \ \{(0,0),(0,1)\},\ \ \{(n,0),(n,1)\}$$ Esta es la base de una topología sobre $Y$ .

Definir $f:X\to Y$ y $g:Y\to X$ por $f((n,i))=(n,i)$ y $g((n,i))=(n+1,i).$ Entonces $f$ y $g$ son biyecciones continuas, pero $X$ y $Y$ no son homeomórficos.

Este ejemplo se debe a G. Paseman.

David Radcliffe "

De forma más general, tomemos un espacio X con tres topologías sucesivamente topologías más finas T, T' y T''. Formar dos espacios que tengan subyacentes conjunto ZxX, y "formar las secuencias infinitas" .... T T T T' T' T'' .... y ... T T T T'' T'' T'' .... Los mapas continuos tomarán una topología en una secuencia a una topología más áspera en la otra. Se pueden hacerlos biyectivos, y mostrar que son obviamente no-homeomórficos para una elección juiciosa de X, T, T' y T''.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2010.07.05

Answer 3

He aquí un análogo continuo de la respuesta de Gerhard Paseman: Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son $\mathbb{R}$ . Como espacios topológicos, $X$ es la unión disjunta del intervalo abierto $(0,\infty)$ con un espacio discreto cuyos puntos son reales no positivos, mientras que $Y$ es la unión disjunta de $(-1,0)$ , $(1,\infty)$ y un espacio discreto cuyos puntos forman el complemento de esos intervalos. La traslación por adición de uno es una biyección continua desde $X$ a $Y$ y también una biyección continua desde $Y$ a $X$ pero los dos espacios no son homeomórficos.

Answer 4

Hace tiempo me hice esta pregunta y encontré algunos contraejemplos. Después de haberlo hecho me pregunté cuál sería el contraejemplo más "pequeño". En primer lugar, observe que si el conjunto de aperturas en $X$ y en $Y$ tienen que tener la misma cardinalidad. Esto demuestra que si el número de aperturas en $X$ es finito entonces $f$ y $g$ ambos tienen que ser homeomorfismos por lo que la cardinalidad del conjunto de aperturas tiene que ser al menos $\aleph_0$ . La respuesta de Gerhard Paseman muestra que utilizando $2^{\aleph_0}$ abre es suficiente. Pero se puede hacer mejor, aquí hay un ejemplo que realmente tiene $\aleph_0$ se abre:

Dejemos que $X$ y $Y$ ambos tienen $\mathbb Z$ como conjunto subyacente, que las aperturas de $X$ sea $\lbrace \mathbb Z_{\geq i} \mid i \in \mathbb N_{>0} \rbrace \cup \lbrace \emptyset, \mathbb Z \rbrace$ y el conjunto de aperturas de $Y$ sea $\lbrace \mathbb Z_{\geq i} \mid i \in \mathbb N_{>0} , i\neq 2\rbrace \cup \lbrace \emptyset, \mathbb Z \rbrace$ entonces $f:X\to Y$ dado por $f(x)=x$ es continúa, y también lo es $g:Y\to X$ dado por $g(a)=a-2$ . Para ver que $X$ y $Y$ no son homeomórficos, observe que $X$ contiene sólo 1 elemento que está contenido en exactamente 2 aperturas, a saber, el elemento $1$ , pero en $Y$ tanto el elemento $1$ y el elemento $2$ están contenidas exactamente en 2 aperturas.

Answer 5

No tengo mi copia de Kelley a mano pero creo que en el capítulo 1 da el ejemplo en el que X es una unión disjunta contable de intervalos abiertos y un conjunto discreto contable mientras que Y es una unión disjunta contable de intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha y un conjunto discreto contable.