¿Se ha utilizado el último teorema de Fermat per se?

Question

Hay una larga tradición de matemáticos, recalcando que FLT en sí mismo es un lugar aislado de reclamación, atractivas sólo debido a su simplicidad. Y la gente a menudo se nota una gran cosa acerca de las pruebas actuales de FLT es su uso de la modularidad de la tesis de que es exactamente lo opuesto: arcano, y ricamente conectado a una gran cantidad de resultados.

Pero han sido los usos de FLT en sí? Más allá de lo que implica simples variantes de la misma, son más graves usa todavía?

Veo que el debate en el Último Teorema de Fermat y la Computabilidad Teoría concluye que uno de los supuestos uso no es en serio el uso de FLT.

Answer 1

Corolario 3.17 en este artículo de Stefan Keil utiliza FLT para el exponente 7 para demostrar que si $E/\mathbb{Q}$ es una curva elíptica con una racional 7-torsión punto de $P$, e $E\rightarrow E'$ es el 7-isogeny con kernel $\langle P\rangle$,, a continuación,$E'(\mathbb{Q})[7]=0$. Por supuesto, hay muchas maneras de probar esto, pero el papel que hace la escritura de la parametrisation de todas las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ con 7-torsión y de sus racional 7-isogenies, y luego jugar con los parámetros para obtener una contradicción a la FLT.

Answer 2

Quizás sea una indicación de la edad promedio de los MOers de hoy que nadie recuerda el trabajo de Hellegouarch, quien introdujo alrededor de 1970 lo que hoy se llama curva de Frey precisamente para deducir información sobre curvas elípticas a partir de (los entonces) resultados conocidos sobre el último teorema de Fermat .

Answer 3

Recordemos que alrededor de 1977 Mazur completamente ha clasificado la posible torsión de grupos de curvas elípticas sobre $\mathbb Q$. Un par de años antes, Kubert ha trabajado en este problema y ha establecido una serie de resultados parciales, incluyendo, en el documento "límites Universales en la torsión de curvas elípticas", la siguiente declaración (Principal resultado 1, segunda parte):

Si $\ell>3$ es un primer para que el ultimo teorema de Fermat es válido, entonces el $\ell^2\nmid |E_\mathrm{tor}(\mathbb Q)|$.

(permítanme señalar que la prueba se divide en casos $\ell>5$, lo cual sustancialmente los usos de la asunción, y $\ell=5$ que no, y utiliza un complicado descenso argumento)

Con este teorema podemos, con relativa facilidad, probar que si FLT se mantiene, entonces $|E_\mathrm{tor}(\mathbb Q)|$ es un producto de un squarefree número y un factor de $12$.

Por supuesto, este resultado es anterior a la FLT por un tiro largo, y fue rápidamente sustituida por la del teorema de Mazur, pero aún así es digno de mención porque se basa en la de FLT y no solo de un caso.

Answer 4

Hacer aplicaciones a la física conde?

La supersimetría Roturas y Último Teorema de Fermat, Hitoshi Nishino, Mod.Phys.Lett. Un 10 (1995) 149-158.

En este trabajo, nos dan la primera aplicación del último teorema de Fermat (FLT) para los modelos de la física, en particular a los modelos supersimétricos en dos o cuatro dimensiones. Está demostrado que la FLT implica que la supersimetría es exacta en algún número irracional puntos en el parámetro el espacio, mientras que es roto en todo número racional puntos, excepto para el origen. Este mecanismo presenta un peculiar vínculo entre la FLT en la teoría de los números y el vacío de la estructura de la supersimetría. Previamente, la única conocida conexión entre la teoría de números y la supersimetría ha sido a través de topológico efectos, tales como instantons y los monopolos en modelos supersimétricos.