(No estoy seguro de si esta pregunta es adecuado para las Matemáticas SE. Por favor comente si no).
En la página 43 de su Avanzada Moderna Álgebra (2d ed., 2010), Rotman da un mystifyingly elaborar la prueba (por contradicción no menos) de la normalidad de cualquier subgrupo de índice 2 (Proposición 1.86 (ii)).
Esta prueba no es incorrecto, AFAICT, pero me pregunto qué hay de malo con esta ingenua 1 de la línea de prueba: Si $H < G$ son grupos con $[G\;:\:H\;] = 2$, entonces (sobre $G, H, aH$, e $Ha$ como conjuntos):
$$aH = G - H = Ha \;,\;\;\;\forall \; a \in G - H$$
(I. e. $G = H \; \cup \; aH = H \; \cup \; Ha$, y los dos sindicatos son disjuntas.)
Me estoy perdiendo algo?
Gracias!
Edit: OK, al transcribir Rotman de la prueba (en respuesta a su solicitud), me di cuenta de una nota de pie de página que explica el misterio, o la mayoría de ella (la información a continuación). Mis disculpas por mi descuido de la lectura.
(Tal vez debo señalar que, yo no soy de leer este 1000-página gigante de tapa a tapa, sino que consultar de vez en cuando como una referencia.)
De todos modos, por lo que vale, aquí está Rotman de la prueba:
(ii) basta probar que si $h \in H$, entonces el conjugado $ghg^{-1}\in H$ por cada $g \in G$. Si $g \in H$,$ghg^{-1}\in H$, debido a $H$ es un subgrupo. Si $g \notin H$, $g = ah_0$ donde $h_0\in H$ ( $G = H \cup aH$ ). Si $ghg^{-1} \in H$, hemos terminado. De lo contrario, $ghg^{-1} = ah_1$ algunos $h_1\in H$. Pero $ah_1 = ghg^{-1} = ah_0hh_0^{-1}a^{-1}$. Cancelar $a$ obtener $h_1 = h_0hh_0^{-1}a^{-1}$, contradiciendo $a \notin H$.
La posibilidad de dar sentido a esta extraña redactada, apaleado prueba fue lo que tocó mi cerebro perezoso en fundición acerca de uno más simple...
De todos modos, como dije antes, tras transcribir el de arriba me di cuenta por primera vez una discreta nota de pie de página marcador que conduce a la observación: "[un]tro prueba de esto se da en el Ejercicio de 1.57 en la página 45." Efectivamente, el ejercicio de 1.57 dice: "(i) Demostrar que si $H$ es un subgrupo $bH = Hb = \{hb\;:\;h\in H\;\}$ por cada $b\in G$, $H$ debe ser un subgrupo normal. (ii) el Uso de la parte (i) para dar una segunda prueba de...: si $H\subseteq G$ índice de $2$,$H \triangleleft G$."
Es sorprendente para mí que Rotman da bastante discreto de facturación a la equivalencia $$H \triangleleft G \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \forall\,g\in G, \;\; gH = Hg$$
Recuerdo el lado derecho de esta equivalencia como la definición de la normalidad (en lugar de Rotman $h\in H, g\in G \Rightarrow ghg^{-1}\in H$). Si no se realiza la definición de normalidad, a continuación, su equivalencia con la normalidad es, ciertamente, una más general, y en mi humilde opinión, importante, teorema de la una sobre la normalidad de un índice-$2$ subgrupo. Pero, sea como sea, el hecho de que este resultado no estaba disponible en este punto en el texto se explica, tal vez, la elección de las más complejas de la prueba.
Una vez más, mis disculpas por mi descuido de la lectura.
