Fenómeno numérico. ¿Quién puede explicarlo?

Question

Estaba haciendo algo de ingeniería de software y quería que un hilo hiciera algo en segundo plano para, básicamente, desperdiciar el tiempo de la CPU para una determinada prueba.

Aunque podría haber hecho algo realmente aburrido como for(i < 10000000) { j = 2 * i } Terminé haciendo que el programa se iniciara con $1$ y luego, durante un millón de pasos, elegir un número real al azar $r$ en el intervalo $[0,R]$ (uniformemente distribuido) y multiplicar el resultado por $r$ en cada paso.

• Cuando $R = 2$ convergió a $0$ .
• Cuando $R = 3$ explotó hasta el infinito.

Así que, por supuesto, la pregunta que cualquier persona con un mínimo de curiosidad se haría: ¿para qué $R$ tenemos la transición. Y entonces, probé el primer número entre $2$ y $3$ que todos pensamos, el número de Euler $e$ Y, efectivamente, esta conjetura era correcta. Me encantaría ver una prueba de esto.

Ahora, cuando debería estar trabajando, me estoy preguntando por el comportamiento de este script.

Irónicamente, en lugar de perder el tiempo de mi CPU, estoy perdiendo mi propio tiempo. Pero es un fenómeno hermoso. No me arrepiento. $\ddot\smile$

Answer 1

EDITAR: He visto que lo has resuelto tú mismo. Felicidades. De todas formas lo pongo porque ya estaba casi escribiendo cuando llegó tu respuesta.

Los productos infinitos son difíciles, en general; las sumas infinitas son mejores, porque tenemos muchas herramientas a nuestra disposición para manejarlos. Afortunadamente, siempre podemos convertir un producto en una suma mediante un logaritmo.

Dejemos que $X_i \sim \operatorname{Uniform}(0, r)$ y que $Y_n = \prod_{i=1}^{n} X_i$ . Tenga en cuenta que $\log(Y_n) = \sum_{i=1}^n \log(X_i)$ . La eventual aparición de $e$ como importante ya está algo claro, aunque no hayamos hecho nada todavía.

La formulación más útil aquí es que $\frac{\log(Y_n)}{n} = \frac 1 n \sum \log(X_i)$ porque sabemos por la Ley Fuerte de los Grandes Números que el lado derecho converge casi con seguridad a $\mathbb E[\log(X_i)]$ . Tenemos $$\mathbb E \log(X_i) = \int_0^r \log(x) \cdot \frac 1 r \, \textrm d x = \frac 1 r [x \log(x) - x] \bigg|_0^r = \log(r) - 1.$$

Si $r < e$ entonces $\log(Y_n) / n \to c < 0$ lo que implica que $\log(Y_n) \to -\infty$ Por lo tanto $Y_n \to 0$ . Del mismo modo, si $r > e$ entonces $\log(Y_n) / n \to c > 0$ De ahí que $Y_n \to \infty$ . El caso divertido es: ¿qué pasa cuando $r = e$ ?

Answer 2

¡He encontrado la respuesta! Se comienza con la distribución uniforme en $ [0,R] $ . El logaritmo natural hace que esta distribución se adelante a una distribución en $ (-\infty, \ln(R) ] $ con una función de densidad dada por $ p(y) = e^y / R, y \in (-\infty, \ln(R)] $ . El valor esperado de esta distribución es $$ \int_{-\infty}^{\ln(R)}\frac{y e^y}{R} \,\mathrm dy = \ln(R) - 1 .$$ Resolviendo el cero se obtiene la respuesta al acertijo. ¡Me encanta!