¿Cuáles son algunos ejemplos de conjeturas matemáticas que los matemáticos aplicados asumen como ciertas en las aplicaciones, a pesar de que se desconoce si son o no ciertas?
Al parecer, todos los algoritmos de criptografía (de clave pública) se reducen a una conjetura teórica de números. No necesariamente la factorización de números grandes, pero hay que suponer que algo es difícil.
No soy un experto, pero creo que esto no es cierto para Esquemas basados en el hash de Merkel : "La Comisión Europea ha recomendado el uso del esquema de firma Merkle para la protección de la seguridad a largo plazo contra los ordenadores cuánticos".
Es un problema abierto para resolver una cuestión formalizada por G. Shephard en 1975:
Q . ¿Puede la superficie de cada poliedro convexo cortarse por las aristas y desdoblarse en un polígono no superpuesto en el plano?
Suele llamarse El problema de Durero porque hay un sentido en el que se remonta a Durero. Pero no estoy seguro de que sea justo llamarlo una "conjetura", una de las razones por las que esto no es una respuesta ideal a la pregunta planteada.
También es un poco exagerado afirmar que hay una relación directa aplicación . Pero encontré una tesis de doctorado en ingeniería mecánica que se lamentaba, "no hay ningún teorema o algoritmo eficiente que pueda decir si una forma 3D dada es desplegable [sin superposición] o no". A pesar de que el problema de Durero no está resuelto cualquier ingeniero o arquitecto que quiera desplegar una forma 3D -por ejemplo, para perforarla de aluminio- la rompe en piezas convexas (una pieza si ya es convexa) y las despliega fácilmente por los bordes sin que se superpongan. La falta de resolución del problema abierto no es un impedimento para encontrar realmente desdoblamientos de bordes en la práctica.
Figura de Algoritmos de plegado geométrico , p.299: Despliegue del balón de fútbol.
J.O'Rourke, "El problema de Durero". En Marjorie Senechal, editora, La configuración del espacio: La exploración de los poliedros en la naturaleza, el arte y la imaginación geométrica , páginas 77--86. Springer, 2013. ( Enlace de Springer .)
@Somos: Estás citando a PyRulez, no a mí. Creo que lo que quiere decir es que no se sabe si la conjetura es verdadera o falsa, o el problema abierto se resuelve positiva o negativamente. Esta última es la situación del problema de Durero.
El uso de RSA para el cifrado de clave pública se basa en la suposición de que la factorización es difícil. En realidad, se basa en una más fuerte supuesto que este, a saber, que el Problema RSA es difícil.
El problema RSA es el siguiente: dado un semiprimo $N = pq$ y un exponente $e$ tal que $\gcd(e, \varphi(N)) = 1$ calcular eficientemente $e^{th}$ raíces $\bmod N$ . La opinión generalizada es que la única forma de hacerlo es computar $e^{-1} \bmod \varphi(N)$ donde $\varphi(N) = N - p - q + 1$ y, a su vez, la opinión generalizada es que la única manera de hacerlo es el factor $N$ para calcular $\varphi(N)$ . Sin embargo, estrictamente hablando, ambas son conjeturas que son independientes de la conjetura de que la factorización es difícil.
Así que puede ser que la factorización sea difícil pero que el problema RSA sea fácil porque hay alguna forma inteligente de evitar estos pasos y resolver el problema RSA sin factorizar $N$ . Obsérvese también que sólo necesitamos factorizar semiprimas; también puede ser que la factorización sea difícil pero que la factorización de semiprimas sea fácil.
Las matemáticas de RSA no sólo funcionan para productos de dos primos distintos, sino para cualquier producto de primos distintos (un solo primo daría lugar a un criptosistema realmente tonto). Así que si la factorización de enteros que son productos de dos primos acaba siendo fácil sin hacer la factorización de enteros libres de cuadrados con $k$ factores primos para algunos $k > 2$ también fácil, entonces RSA podría ahorrarse utilizando $k$ primos en lugar de 2 primos. Hay que reconocer que todas las pautas conocidas para evitar claves públicas fáciles de descifrar en RSA tendrían que adaptarse a los productos de $k$ primos. Alguien debería empezar a trabajar en eso para que estemos preparados.
La prueba de primalidad de Miller-Rabin funciona muy bien en la práctica como probabilístico algoritmo para encontrar primos "prácticos" (no demostrables) en criptografía, pero el algoritmo se convertiría en un eficiente tiempo polinómico determinista algoritmo si la hipótesis de Riemann generalizada es verdadera para todo Dirichlet $L$ -funciones (bueno, tal vez sólo para los personajes pares es suficiente). En la práctica, no creo que a nadie en criptografía le importe que la GRH sea cierta o no para contentarse con usar esta prueba de primalidad, precisamente por la versión probabilística de la misma que no depende de la GRH, así que este ejemplo podría no ser estrictamente una respuesta a la pregunta original, pero creo que es una buena aproximación a una respuesta.
En particular, la prueba probabilística es tan buena como la determinista para las aplicaciones, ya que con suficientes pruebas se puede hacer que la probabilidad de error sea la misma que la probabilidad de que la prueba determinista dé una respuesta errónea debido a errores de hardware.
Sería mejor citar la conjetura concreta (en lugar de limitarse a enunciarla), y cómo se utiliza en las aplicaciones.
¿Es esto cierto (como se ha dicho)? Mi impresión es que mucha gente cree que las ecuaciones N-S son no necesariamente bien planteadas y que podrían explotar en un tiempo finito, pero no para los datos del "mundo real".
@StevenStadnicki Su punto es exactamente lo que quería decir. Los "matemáticos aplicados" creen que las NS están bien planteadas para las condiciones que se dan en las aplicaciones.
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Qué precisamente ¿se refiere a que "no se sabe si son ciertas o no"?
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@Somos Como en, no tenemos una prueba o refutación válida de la conjetura.
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¿Los físicos pueden considerarse "matemáticos aplicados"? Hay cientos de conjeturas no demostradas que los físicos creen.
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@AlexandreEremenko Eh, probablemente lo suficientemente cerca, ya que no haces cientos de respuestas.
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Esto es tangencial a la pregunta, pero quizás pueda ser de interés: " ¿Cuándo se formularon y comunicaron por primera vez las conjeturas matemáticas? ."