¿Cuántas relaciones de longitud $n$ ¿puede existir en un grupo sin imponer relaciones más cortas?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo con dos generadores. Supongamos que todas las palabras no triviales de longitud menor o igual $n$ en los generadores y sus inversos definen elementos no triviales en $G$ .

Pregunta: ¿Cuántos de los $4\cdot 3^{n}$ palabras de longitud $n+1$ en los generadores y sus inversos pueden ser a lo sumo triviales en $G$ ?

Me interesa el crecimiento de este número como $n$ crece. Por lo que entiendo de la teoría de grupos aleatorios de Gromov, una elección de relaciones de longitud $n+1$ será (casi seguramente como $n \to \infty$ ) no aplicar relaciones más cortas si se opta por $$3^{\left(\frac{1}2 - \varepsilon\right) \cdot n}$$ relaciones de longitud $n+1$ al azar. (Este resultado está relacionado con la teoría de las pequeñas cancelaciones, que se aplica a las relaciones elegidas al azar. El exponente $1/2$ que aparece está relacionado con la paradoja del cumpleaños. Asegura que con una alta probabilidad no se eligen relaciones que tengan un gran solapamiento). Sin embargo, no sé cómo demostrarlo ni siquiera localizarlo en la literatura. ¿Puede alguien confirmarlo?

Pregunta: ¿Se puede hacer algo mejor que $3^{\left(\frac{1}2 - \varepsilon\right)\cdot n}$ (como $n \to \infty$ ) con una secuencia concreta de grupos en lugar de utilizar grupos aleatorios?

Answer 1

Sea w una palabra (en el alfabeto de las dos letras más dos símbolos más para el inverso formal) de longitud n+1. Si esta palabra es trivial, entonces las permutaciones cíclicas de esta palabra son triviales y también se obtienen relaciones de la forma letra = palabra de longitud n sacando una letra diferente de la palabra e invirtiendo formalmente, y reordenando la palabra adecuadamente.

Cuando se hace esto se pueden agrupar las permutaciones cíclicas en cuatro grupos (o dos si se hace las inversiones adecuadas). Esto te permite crear listas de palabras iguales. A continuación, puedes hacer cancelaciones para construir relaciones más cortas. Una vez que tienes dos palabras de longitud n/2 que son iguales (permíteme suponer que n es par para simplificar), ahora puedes formar una palabra trivial de longitud n contradictoria con tu premisa.

Partiendo de K palabras de longitud n+1 de las cuales ninguna es cíclicamente similar, se pueden desarrollar K'(n+1) palabras distintas en dos grupos diferentes. (Puede haber confusión y K' puede ser menor que K; por el momento supongamos que tenemos suerte y que K' = K). Si uno de Si uno de esos grupos tiene dos palabras que comienzan (digamos) con la misma cadena de n/2 letras, entonces se obtiene una palabra contradictoria, por lo que los grupos deben ser cada uno menor que 4^(n/2), lo que da una estimación aproximada de K'(n+1) <= 2 * 2^n, y más trabajo puede mostrar que K podría ser del mismo orden que K'.

No es una respuesta completa, y quedan algunas combinatorias por hacer (por ejemplo, descartar el caso de que dos palabras tengan el mismo prefijo y sufijo con una longitud combinada de n/2), pero Espero que esta línea de pensamiento ayude.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2011.02.17

Answer 2

El siguiente truco, inspirado en los grupos de Burnside, tal vez pueda convertirse en algo interesante (pero probablemente más pequeño entonces $3^{1/2-\epsilon}$ ):

Supongamos que $n+1$ tiene un divisor bastante pequeño $k$ (Ignoro si $k=2$ ya funciona) y elegir un subconjunto $S$ de palabras de longitud $(n+1)/k$ en $\langle a,b\rangle$ . Si no hay ninguna palabra de $S$ puede reducirse cíclicamente y si las palabras de $S$ satisfacen una adecuada propiedad de no-pequeña-cancelación (en particular, $\langle S\rangle$ debe ser el grupo libre en $S$ ), entonces el grupo libre de Burnside en $S$ no tiene ninguna relación más corta que $n+1$ (con respecto a la longitud inducida como subgrupo de $\langle a,b\rangle$ ). El cociente de $\langle a,b\rangle$ por las relaciones de Burnside inducidas por $S$ no debería tener ahora ninguna relación menor que $n+1$ . En efecto, la reducción cíclica de los elementos en $S$ muestra que las relaciones $g^{(n+1)/k},g\in S$ se reducen cíclicamente y la propiedad de cancelación pequeña muestra que todas las demás relaciones son mayores. El problema consiste, pues, en encontrar un conjunto grande adecuado $S$ .

(Supongo que esta es también más o menos la idea que subyace en la respuesta de Paseman).