¿Cada morfismo suave y proyectivo de$\mathbb{C}P^1$ admite una sección?

Question

Posiblemente esto ya se ha preguntado, pero ella se acercó de nuevo en esta pregunta de Daniel Litt. Cada liso, proyectiva de morfismos $f:Y\to \mathbb{C}P^1$ admite una sección, es decir, una de morfismos $s:\mathbb{C}P^1\to Y$ tal que $f\circ s$ es igual a $\text{Id}_{\mathbb{C}P^1}$?

Edit. Como Ariyan señala, este artículo demuestra que hay al menos $3$ singular fibras de $f$ si $Y$ tiene no negativo de Kodaira dimensión, el Teorema de 0.1 de Viehweg-Zuo, o si el fibration no es isotrivial con el general de la fibra, ya sea de tipo general o con $\omega_f$ semi-positiva, Teorema de 0.2 por Möller-Viehweg-Zuo. Esto sugiere un enfoque para probar la conjetura, al menos, suponiendo que el uniruledness conjetura (negativo Kodaira dimensión implica uniruled): tome el MRC cociente y, a continuación, aplicar el Modelo de un Mínimo de Programa para tratar de reducir estos teoremas. Por desgracia, tanto en la formación de la MRC cociente y el Modelo Mínimo del Programa son propensos a presentar singularidades . . .

Segunda Edición. Como Ben Wieland señala, esto es falso, en la categoría de compactos, complejos colectores. Los ejemplos son interesantes (para mí), ya que también en la exhibición de "racionalmente conectada" fibrations a través de una superficie de Riemann en la analítica de la categoría no necesita admitir secciones. Comenzar con la $\mathbb{C}^\times$ -torsor $T$ sobre $\mathbb{P}^1$ asociado a cualquier no-trivial invertible gavilla, por ejemplo, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$. Ahora vamos a $q:T\to Y$ ser el fiberwise cociente por la multiplicación por algún elemento $\lambda\in \mathbb{C}^\times$ de módulo de $\neq 1$. Proyección de $T$ a $\mathbb{P}^1$ factores a través de este cociente, $f:Y\to \mathbb{P}^1$. Aunque cada fibra de $f$ es el mismo de Hopf de la superficie curva elíptica, no hay ninguna sección: en caso de existir, su inversa de la imagen en $T$ sería un discontinuo de la unión de las secciones de $T$ (desde $\mathbb{P}^1$ es simplemente conectado), y $T$ no tiene secciones.

Una Respuesta Positiva por parte de Pablo Seidel. El 22 de septiembre de 2017. He recibido una comunicación de Pablo Seidel que él sabe cómo probar esto mediante métodos de topología simpléctica.

Answer 1

Sí, el uso de algunos geometría simpléctica. Digamos que tuvimos $X \subset {\mathbb C}P^n \times {\mathbb C}P^1$, con proyección a $\mathbb{C} P^1$ un suave morfismos (es decir, para topologists, una adecuada holomorphic inmersión; todas las fibras son suaves). Con la restricción de la norma Kaehler forma, esto se convierte en un simpléctica de fibra paquete de más de ${\mathbb C}P^1 = S^2$. Se sabe que el Gromov-Witten invariante contar secciones de cualquier fibration (con la adecuada incidencia condiciones) es siempre distinto de cero. Esto se demostró mediante la inversión de la orientación de $S^2$ para obtener otro fibration y, a continuación, teniendo en cuenta que la fibra de la unión de los dos como una degeneración de la trivial fibration. Referencias:

http://front.math.ucdavis.edu/9511.5111

https://arxiv.org/abs/dg-ga/9710017

https://arxiv.org/abs/math/9905092

PS: Leve ediciones, espero que esto aclara (y que no he entendido mal la pregunta, por supuesto). He añadido otro de referencia (el tercero): véase el Teorema 1.5 allí, y tenga en cuenta que el mapa que toma valores en el invertible elementos de quantum cohomology (por lo tanto, es distinto de cero).