El Bruto-Zagier fórmula y diferentes variaciones de la misma forma el punto de partida en la mayoría de los resultados existentes hacia el Birch y Swinnerton-Dyer conjetura. Se relaciona el valor en $1$ de la derivada de la $L$-en función de una curva elíptica $E$ a la canónica de la altura de un especial racional punto en $E$.
Permítanme describir el Bruto-Zagier fórmula en el caso más simple.
El programa de instalación. Deje $E/\mathbf Q$ ser una curva elíptica. De acuerdo a la modularidad teorema, existe un número finito de $\mathbf Q$-morfismos $p :X_0(N) \to E$ asignación de la cúspide $\infty$ a el origen de las $E$ donde $N$ es el conductor de la $E$. Deje $K\subseteq \mathbf C$ ser un imaginario cuadrática campo, otros de $\mathbf Q[i]$ o $\mathbf Q[\sqrt{-3}]$, en el que los factores primos de $N$ split. A continuación, podemos elegir un ideal $\mathcal J$ en $\mathcal O_K$, de tal manera que $\mathcal O_K/J \simeq \mathbf Z/N\mathbf Z$. Visualización de $\mathcal J$ como un entramado en $\mathbf C$, podemos formar las curvas elípticas $C_\mathcal J = \mathbf C/\mathcal J$ e $C_K = \mathbf C/\mathcal O_K$. Mientras que ellos son un a priori de curvas elípticas sobre $\mathbf C$, sabemos por la teoría de los complejos de la multiplicación de que en realidad son definidos sobre la Hilbert campo de la clase de $H$ de % de$K$. De todos modos, la inclusión $\mathcal J \subseteq \mathcal O_K$ induce por paso al cociente de un isogeny $C_\mathcal J \to C_K$ grado $N$, que es precisamente el tipo de gadget que $X_0(N)$ parametrizes como un espacio de moduli. Así llegamos a un punto en $X_0(N)(H)$. Podemos tomar la imagen de este punto a través de la modulares parametrización $p$ para obtener un punto de $y_J \in E(H)$. Tomando la suma de sus Galois conjugados de abajo a $K$ obtenemos un punto de $y_K \in E(K)$, lo que, resulta, que no depende de la elección de $\mathcal J$, a firmar y a torsión. Esto significa que su Néron-Tate altura $\hat{h}(y_K)$ es un bien definido no número real negativo, que, por la no-degeneración de la altura de la vinculación, es cero si y sólo si $y_K$ es un punto de torsión en $E$.
Con esta configuración, Bruto y Zagier probado:
Teorema de: $$L'(E/K, 1) = \hat{h}(y_K) \frac{\iint_{E(\mathbf C)} \omega \wedge i\omega}{\sqrt D},$$ where $\omega$ is the invariant differential on $E$ (suitably normalized), and $D$ is the discriminant of $K$.
Dado que el factor de $\frac{\iint_{E(\mathbf C)} \omega \wedge i\omega}{\sqrt D}$ nunca es cero, tenemos:
Corolario: Supongamos que $L(E/K, s)$ tiene un simple cero a $s=1$. A continuación, $y_K$ es un punto de infinita orden en $E(K)$, y, en particular, $\text{Rank}_\mathbf{Z}E(K)>0$.
Así, tenemos un ejemplo de una situación en la que la desaparición de la $L(E/K, s)$ a $s=1$ implica la existencia de un (explícito!) punto de infinita orden en $E(K)$ -- un comportamiento que es, por supuesto, previsto por el BSD conjetura (menos el "explícito" de la parte, que viene como una sorpresa).
Si creemos BSD, es natural hacer la siguiente conjetura:
Conjetura (Bruto-Zagier): Supongamos que $L'(E/K, 1)$ es distinto de cero, o lo que es equivalente, que $\hat{h}(y_K)$ es distinto de cero, o aún, equivalentemente, que el $y_K$ no es de torsión. A continuación, $E(K)$ tiene rango exactamente uno, y $\left<y_K\right>$ ha finito índice en ella.
Esta hipótesis fue probada por Kolyvagin.
En cualquier caso, desde $\hat{h}(y_K) = \left<y_K, y_K\right>$ donde $\left<,\right>$ es el Néron-Tate altura de emparejamiento en $E$, podemos reescribir el Bruto-Zagier fórmula como
$$L'(E/K, 1) = \left<y_K, y_K\right> \times C$$ donde $C$ es el distinto de cero constante de la fórmula.
Ahora permítanme decirles algo completamente diferente, a saber, la Minakshisundaram-Pleijel zeta función. (No sé lo suficiente acerca de esto, así que por favor perdonen cualquier error.) Dado un compacto de Riemann colector $M$, uno tiene la de Laplace-Beltrami operador $\Delta$ a $M$, lo que generaliza el familiar Laplaciano en $\mathbf R^n$. El espectro de este operador es un importante invariantes de la $M$, y se codifica en la M-P de la función zeta $$\zeta(\Delta, s) = \sum_{n=1}^\infty |\lambda_n|^{-s}.$$ Se admite un meromorphic continuación a todo el avión, y es holomorphic en $s=0$. Sus coeficientes de Taylor en $0$ alrededor de contener datos geométricos sobre $M$. Deje que nosotros nos especializamos en el caso en que $M$ es una superficie; luego $$\zeta'(\Delta, 0) = \frac{1}{12}\int_M K dA$$ donde $K$ es la curvatura de Gauss. De acuerdo con el de Gauss-Bonnet teorema, esto es, esencialmente, la característica de Euler, así: $$\zeta'(\Delta, 0) = \chi(M) \times C, \qquad C\neq 0.$$ Pero hay una más sugerente forma de escribir la característica de Euler. La diagonal $D \subseteq M \times M$ determina una cohomology de clase en $M \times M$; además de que se encuentra en la pieza de la cohomology de $M\times M$, que es la auto-dual, con respecto a la dualidad de Poincaré, por lo que la expresión $\left<D, D\right>$ tiene sentido (es la "auto-intersección" número de la diagonal). Como es bien sabido, $\left<D, D\right>$ es, precisamente, la característica de Euler de $M$. Así, podemos escribir $$\zeta'(\Delta , 0) = \left<D, D\right> \times C.$$
Corolario: Si $\zeta'(\Delta, 0) \neq 0$,, a continuación, $D$ es un trivial cohomology de clase en $M\times M$.
Así, tenemos un ejemplo totalmente distinto de una situación en la que la no desaparición de la derivada de una función zeta implica la existencia de un explícito no trivial cohomology de la clase que "las cuentas" de la no-fuga (en el primer caso, la visualización de un punto racional en $E$ como grado $0$ Galois cohomology de clase).
Como René señala, $D$ siempre es trivial, por razones triviales. Lo que es interesante para mí no es tanto el nontriviality de $D$, sino que uno puede deducir de este nontriviality de $\zeta'(\Delta, 0)\neq 0$.
Otra diferencia importante que debo señalar que entre las dos situaciones es que el $\zeta'(\Delta, 0)\neq 0$ no implica $\zeta(\Delta, 0)= 0$, debido a que no hay analógica de BSD. De hecho, $\zeta(\Delta, 0)$ es esencialmente $\mathrm{vol}(M)$.
Sin embargo, todavía estoy curioso.
Preguntas:
Es la similitud entre las dos fórmulas, y entre sus Corolarios, coincidencia? (Esta pregunta probablemente no tiene una respuesta precisa, pero creo que vale la pena preguntar.) Y, suponiendo que la respuesta a esta pregunta no es completamente decepcionante...
Tienen cosas como esta ha señalado antes? Hay más ejemplos de fórmulas fuera de la teoría de números que tienen semejanza con el Bruto-Zagier fórmula?
