¿Cuál es el estado actual de la conjetura del divisor cero de Kaplansky para los anillos de grupo?

Question

Deje $K$ ser un campo y $G$ un grupo. El llamado cero divisor conjetura para el grupo de los anillos afirma que el anillo de grupo $K[G]$ es un dominio si y sólo si $G$ es una de torsión libre de grupo.

Un par de buenos recursos para este problema que le da cierta perspectiva histórica son:

• Passman, Donald S. La estructura algebraica de grupo de los anillos. Pura y Matemática Aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sydney, 1977.

• Passman, Donald S. Grupo de anillos, cruzó los productos y teoría de Galois. CBM Conferencia Regional de la Serie en Matemáticas, 64. Publicado por la Conferencia de la Junta de las Ciencias Matemáticas, Washington, DC; por la Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, 1986.

La conjetura ha sido probado afirmativa, al $G$ pertenece a las clases especiales de grupos. Traté de escribir algo de la historia:

• Ordenó grupos (A. I. Malcev 1948 y B. H. Neumann 1949)
• Supersolvable grupos (E. Formanek 1973)
• Policíclicos-por-grupos finitos (K. A. Brown, 1976, R. D. Farkas & R. L. Snider 1976)
• Únicos grupos de productos (J. M. Cohen, 1974)

Aquí están mis preguntas:

1. Fue Irving Kaplansky el primero en el estado de esta conjetura? Alguien puede darme una referencia a un documento o libro que dice esto?
2. Desde las publicaciones de Passman la nota explicativa (arriba) en 1986, ha habido importantes avances en el problema? Hay nuevas clases de grupos que generará una respuesta positiva a la conjetura? Alguien me puede ayudar a ampliar mi lista de arriba?

El cero-divisor conjetura (vamos a denotar por "(Z)") se refiere a las siguientes dos conjeturas:

(Yo): Si $G$ es de torsiones, a continuación, $K[G]$ no tiene no trivial idempotents.

(U): Si $G$ es de torsiones, a continuación, $K[G]$ no tiene no trivial unidades.

Ahora, si $G$ es de torsión libre, entonces se puede demostrar que:

(U) $\Rightarrow$ (Z) $\Rightarrow$ (I).

Ha habido una evolución, desde 1986, a cualquier respuestas parciales en conjeturas (U)? Passman afirma que "esto no es aún conocido por supersolvable grupos". Es este el caso?

Quiero señalar que este post está relacionado con otro viejo MO-post.

Answer 1

Le sugiero que eche un vistazo en el Capítulo 10 de W. Lueck del libro, "$L^2$-invariantes: teoría y aplicaciones a la geometría y de la K-teoría", Springer-Verlag, 2002. No se discute la Atiyah conjetura (conjetura 10.3): si $K$ es un subcampo de la $\mathbb{C}$, un grupo de $G$ satisface la Atiyah conjetura con coeficientes en $K$ si por cualquier $m\times n$ matriz $A$ con coeficientes en $K[G]$, la de von Neumann dimensión del núcleo de el operador $r_A:\ell^2(G)^m\rightarrow \ell^2(G)^n:x\mapsto Ax$, es un número entero.

Lueck, a continuación, demuestra (lema 10.15) que si $G$ es de torsiones y satisface la Atiyah conjetura con coeficientes en $K$, entonces se satisface Kaplansky de la conjetura (Z). Para $K=\mathbb{C}$ e $G$ susceptibles, lo contrario es cierto (lema 10.16).

Lueck va a demostrar (Teorema 10.19) un resultado notable por P. A. Linnell (División de los anillos y el grupo de álgebras de von Neumann. Foro De Matemáticas., 5(6):561-576,1993): Deje $\cal{C}$ ser el más pequeño de la clase de los grupos con los grupos y cerrado bajo dirigida a los sindicatos y extensiones con primaria susceptibles de cocientes; si $G$ es de $\cal{C}$, y ha finito subgrupos de delimitada orden, entonces la Atiyah conjetura con coeficientes en $\mathbb{C}$ mantiene.

Para leer más y los más recientes resultados, prueba a escribir "Atiyah conjetura" en Google o en el ArXiV.