La hipótesis clásica de Riemann tiene análogos famosos para campos de funciones y campos finitos que han sido probados. Tiene ahora muchos análogos, muchos de ellos aún abiertos. ¿Hay análogos importantes que ahora se sabe que son falsos?
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JoshL
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Hay ejemplos de Epstein zeta funciones definidas por Dirichlet de la serie que (1) tienen un meromorphic continuación a todo el plano, (2) cumplir con un funcional de la ecuación similar a la de Riemann zeta función, (3) tiene una infinidad de ceros en la línea crítica, sin embargo, se sabe que los ceros no triviales de la línea crítica. Una construcción de este formulario es la siguiente:
Deje $Q(x,y)= ax^2 + bxy +cy^2 $ ser positiva definida una forma cuadrática, y forma el virus de Epstein zeta-función de $\zeta(z,Q)= \sum_{n,m} \frac{1}{Q(n,m)^{s}}$. Suponga que el número de clase de $h(d) >1$ (donde $d=b^2-4ac$ es el discriminante de $Q$). A continuación, $\zeta(z,Q)$ tiene infinitamente muchos ceros a la derecha de la $1$ línea.
Para más detalles, ver: Davenport, H.; Heilbronn, H. En los Ceros de algunos de Dirichlet de la Serie. J. Londres Matemáticas. Soc. S1-11 no. 3, 181.
John Mac
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Me escribió un papel de la investigación de la Shintani zeta función (asociada al espacio de binario formas cúbicas) de una analítica punto de vista. A pesar de mis investigaciones la mayor parte de los concluyentes, he determinado que esta función zeta no satisface RH. (Yo estaba motivado por los ejemplos que el quid y Marca Lewko menciono más arriba.)
El principio general que parece ser, más o menos, que los siguientes son equivalentes para una de la serie de Dirichlet $L(s)$ con la continuación analítica y funcional de la ecuación: (1) $L(s)$ satisface RH; (2) $L(s)$ tiene una Euler producto; (3) $L(s)$ es el $L$-la función asociada a algunos automorphic representación. Huelga decir que esto está lejos de ser probada.
Sin embargo, para cualquier Dirichlet de la serie sin un producto de Euler, es normalmente fácil de refutar la hipótesis de Riemann: habrá ceros fuera de la línea crítica, y métodos numéricos y software, debido a Rubinstein, Dokchitser, y otros permiten a uno para ir hurgando para ellos.
cartoonist
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Es que hace tiempo que lo leí, así que espero recordar los detalles correctamente, pero:
en Eisenstein serie y la de Riemann zeta función (Automorphic Formas, la Teoría de la Representación y Aritmética, Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York (1981) 275-301)
Don Zagier muestra que el RH es equivalente a la unitarity de un cierto (no admisible) $SL(2, \mathbb{R})$ de representación. A continuación se le da un segundo de la construcción de esta representación en términos de la adeles más de $\mathbb{Q}$. A continuación, un lugar sorprendente la línea de golpe de la siguiente manera: se aplica la misma construcción para la adeles más de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, obteniendo así una similar represenation y muestra que esta representación es no unitario (mediante la exhibición de un subespacio invariante que no es un sumando directo).
Aunque es más que una variante de un equivalente de la reformulación de los RH que se muestra falso que una variante de la RH en sí, al menos se va a mostrar, como Zagier señala, que cualquier prueba de la humedad relativa debe explotar de una manera muy especial de las propiedades de los racionales no son compartidos por cualquier campo global.
EDIT: acabo de encontrar una versión en línea del periódico y resulta que yo recordaba mal. Al parecer, el unitarity de la mencionada representación no es equivalente a RH, pero bastante más. En particular, esto también supone que los ceros de zeta son simples (que se cree para ser aún más difícil de RH de acuerdo a la respuesta a esta MO pregunta: Son los ceros no triviales de la de Riemann zeta simple?.) Al parecer esto más difícil conjetura es que sabe que es falsa sobre otros campos que no $\mathbb{Q}$ y este es el hecho de que se utiliza para construir el contraejemplo a la unitarity de los análogos de las representaciones procedentes de otros campos (también, para mi sorpresa, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ se menciona explícitamente en ninguna parte). Así que no es una respuesta a la pregunta original, después de todo, lo siento. Todavía el artículo es bastante interesante.
