¿Qué son los "grupos clásicos"?

Question

A diferencia de muchos otros términos en matemáticas que han universalmente entendido el significado (por ejemplo, "grupo"), el término clásico de grupo parece tener una difusa definición. Al parecer se origina a partir de Weyl el libro de La Clásica Grupos pero no lo hace en el índice de allí. Fue propagado por Dieudonné y otros. Pero yo no estoy seguro exactamente qué son los grupos incluidos/excluidos por esta etiqueta. Weyl sí parece que se han interesado en general (y quizás especiales) lineal de los grupos, junto con ortogonal (o especial ortogonal) y simpléctica grupos unidos a bilineal/cuadráticas formas. Inicialmente se plantearon principalmente en el carácter 0, generalmente por encima de $\mathbb{C}$ pero a veces otros campos también.

Obviamente ayuda matemática de la comunicación que tienen las palabras y los símbolos que no necesitan de mayor explicación. Pero la ambigüedad tiende a acumularse. Por ejemplo, ¿qué se entiende por "números naturales" o el símbolo $\mathbb{N}$? (0 es un número natural o no?) ¿Qué es un "anillo"? (¿Tiene un elemento de identidad o no?) Por ahora un número de títulos de libros y miles de artículos de investigación se refieren a clásica grupos. Pero qué grupos se incluyen? Vuelta o media vuelta grupos? Las versiones de los lineales de los grupos mencionados anteriormente?

Hay una definición precisa de los clásicos grupos?

AGREGADO: Las respuestas y los comentarios han sido enriquecedor, aunque como algunas otras personas me inclino más hacia un "no" como respuesta a mi pregunta básica. La preocupación subyacente por mi parte es si la noción de "clásico de grupo" se ha convertido en demasiado vago para ser útil, que yo a veces sospecho es el caso de la más reciente paraguas términos como "quantum grupo". Parece que la única seguridad en el uso hoy en día es "clásico grupos, por que me refiero a uno de los de la lista siguiente ....", en que punto de la etiqueta original se ha perdido la mayor parte de su propósito.

Sin embargo ... el tratamiento cuidadoso por Porteous (que yo no conocía) me parece bien enfocado, incluso si se omite algunos de los grupos de interés. Weyl mismo quería directa y concreta aproximación a las representaciones y los invariantes de determinados matriz de grupos, principalmente, con $\mathbb{C}$. Eso es claramente demasiado estrecho para fines posteriores, donde la geometría de los diferentes tipos de formularios a través de los diversos tipos de anillos recibe más atención, junto con la interna de la estructura del grupo. Pero algunas de las geométrico de los puntos de vista podría sugerir a prestar más atención a PGL de GL, contrario a la matriz del grupo hincapié en la mayoría de los otros trabajos.

En cualquier caso, mientras que la Matanza-Cartan clasificación de álgebras de Lie todavía hace que sea natural para ver a-D tipos como "clásica" y el resto como "excepcional", Soy reacio a ir demasiado lejos en el montaje clásico de los grupos en el marco de Lie semisimple o algebraica de los grupos basados en gran medida en el diferencial o la geometría algebraica. Ese marco ya se ha estirado a admitir lineal general o de grupos de anillos procedentes de la teoría de números. Y vuelta o media vuelta o adjuntos de los grupos, sin embargo naturales en la Mentira de la teoría, probablemente no encajan tan bien en el mundo familiar de la matriz de grupos.

Un punto de vista puedo resistir es el intento de definición dada por Popov en el Springer enciclopedia. Esto en realidad no cubren el suelo de manera sistemática o de manera integral, además de que la corta lista de referencia está totalmente desequilibrada.

P. S. Los puntos de vista expresados en las diversas respuestas y comentarios son en su mayoría bastante razonable, pero me deja con la sensación de que el uso diario no tienden a converger. Tal vez debería resumir mi persistente incertidumbre sobre el valor del término "clásico de grupo", citando a uno de Emil Artin de 1955 papeles en las órdenes de finitos simples grupos: La noción clásica de grupos es tomado en un sentido amplio como para abarcar todos los finitos simples grupos que se conocen hasta ahora.

Answer 1

Un clásico de grupo significa que uno cuyo diagrama de Dynkin es una de las 4 series infinitas a, B, C, D cuyos elementos pueden ser extendido indefinidamente, como contraposición a la excepcional grupos G2, F4, E6, E7, E8, cuyos diagramas de Dynkin no puede extenderse indefinidamente (suponiendo que todo lo que es finito dimensionales...). Como alternativa a la clásica grupos son los que (hasta abelian piezas) pueden ser definidas por el cachondeo con "grado 2" formas (sesquilinear, simétrica, alternando, trivial, etc); el excepcional grupos pueden ser definidos mediante el uso de formularios de grado 3, como mínimo.

Answer 2

En mi humilde opinión, esta definición no se limita a los grupos de más de $\mathbb{C}$ y sus familiares; por ejemplo, en la teoría de la finitos simples grupos de personas que suelen hablar de un clásico del grupo como un miembro de una de las 4 series: lineal, simpléctica, ortogonales y unitarios, definidas sobre un campo finito. Ver, por ejemplo, http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/lin/y http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/clas/ (aquí por alguna razón lineal de los grupos se dividen el resto).

Más generalmente, se puede incluso trabajar con los grupos más anillos: ver, por ejemplo, el libro por Hahn y O'Meara http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-540-17758-6

Answer 3

Creo que la pregunta probablemente no siempre tiene una respuesta precisa. En el contexto de la algebraicas lineales grupos de más arbitrario de los campos, a mí me gusta el punto de vista proporcionada por el "álgebra de operadores con la involución" -- vea el capítulo VI de [El Libro de Involuciones], que los autores describir como dando la "clasificación de semisimple algebraica de los grupos de tipo clásico, sin ningún campo característica supuestos..."

Este punto de vista considera la "clásica de los grupos de" usar el siguiente tipo de datos. Deje $A$ ser finito (dimensiones) $k$ álgebra que es semisimple y separables (separable significa que el centro de $A$ es un etale conmutativa $k$-álgebra), y deje $\sigma$ ser $k$-involución de $A$. Utilizando estos datos, se construye familias algebraico de los grupos.

Por ejemplo, considere el algebraicas grupo $G=\operatorname{Iso}(A,\sigma)$ cuyo functor de puntos está dada por la regla de $G(R) = ${$a \in A \otimes_k R \mid a\cdot\sigma(a) = 1$ }. Al $A$ es simple entonces, dependiendo de la naturaleza de $\sigma$ -- $G=\operatorname{Iso}(A,\sigma)$ puede ser un (una retorcida forma de a) grupo unitario, un grupo ortogonal, un simpléctica grupo. (Más cuidado es necesario para obtener la especial unitario ortogonal o grupos...)

No están relacionados con las construcciones -- $\operatorname{Sim}(A,\sigma)$, $\operatorname{Aut}(A,\sigma)$,... -- para dar cuenta de isogenies etc.

Estas construcciones dan a los grupos que "geométricamente" (a través de una clausura algebraica de $k$) tienen los diagramas de Dynkin mencionado en otras respuestas.

Bueno, dudo que este punto de vista da una definición universalmente aceptada del concepto de "clásico grupos", pero bastante uniforme de la cuenta.

Answer 4

Tal definición (pero no la definición, supongo) se puede encontrar en Álgebras de Clifford y los Clásicos Grupos de Ian Porteous (ver Chapt. 13).

Se basa en la clasificación de la real álgebra anti-involuciones de $A(n)$ donde $A$ es igual a $K$ o $^2K$, y $K = \mathbb R$, $\mathbb C$ o $\mathbb H$. Por el teorema de abajo hay diez casos. En cada caso la correspondiente familia de los grupos de correlación automorfismos de forma análoga a la ortogonal grupos.

Teorema. Deje $\xi$ ser una irreductible de correlación en un derecho $A$-espacio lineal de dimensión finita $> 1$, y, por tanto, equivalente a un simétrica o el sesgo de correlación. A continuación, $\xi$ es equivalente a uno de los siguientes diez tipos, estos ser mutuamente excluyentes.

1. Un simétrica $\mathbb R$-correlación;
2. Una simétrica, o, equivalentemente, un sesgo, $^2\mathbb R^\sigma$-correlación;
3. Un sesgo $\mathbb R$-correlación;
4. Un sesgo $\mathbb C$-correlación;
5. Un sesgo $\tilde{\mathbb H}$- o, equivalentemente, una simétrica $\overline{\mathbb H}$-correlación;
6. Un sesgo, o, equivalentemente, una simétrica,$^2\overline{\mathbb H}^\sigma$ -correlación;
7. Un simétrica $\tilde{\mathbb H}$-, o, equivalentemente, un sesgo, $\overline{\mathbb H}$-correlación;
8. Un simétrica $\mathbb C$-correlación;
9. Una simétrica, o, equivalentemente, un sesgo, $\overline{\mathbb C}$-correlación;
10. Una simétrica, o, equivalentemente, un sesgo, $^2\overline{\mathbb C}^\sigma$-correlación.

Las diez familias de los clásicos grupos de la siguiente manera, donde $p+q=n$:

1. $O(p, q; \mathbb R)$ o $O(p, q)$, con $O(n) = 0(0, n)$;
2. $GL(n;\mathbb R)$;
3. $Sp(2n;\mathbb R)$;
4. $Sp(2n;\mathbb C)$;
5. $Sp(p,q;\mathbb H)$ o $Sp(p,q)$, con $Sp(n)= Sp(0,n)$;
6. $GL(n;\mathbb H)$;
7. $O(n;\mathbb H)$;
8. $O(n;\mathbb C)$;
9. $U(p,q)$, con $U(n)=U(0,n)$;
10. $GL(n;\mathbb C)$.

Answer 5

Un grupo clásico es el subgrupo de isotropía de una órbita abierta en una representación de GL (n).