El título lo dice todo: si$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función real, existe un subconjunto denso$D$ de$\mathbb{R}$ de modo que$f|_D$ es continuo.
O eso me dicen, pero esto me deja perplejo. Aparte del hecho bastante trivial de que uno puede encontrar un$D$ denso tal que la gráfica de$f|_D$ no tenga puntos aislados (por una variante de Cantor-Bendixson), no sé cómo comenzar. ¿Es este un hecho bien conocido?
Es un teorema debido a Blumberg ( Nuevas propiedades de todas las funciones reales - Trans. AMS (1922)) y un espacio topológico$X$ tal que cada función real valorada admite un conjunto denso en el que es continuo a veces se denomina Espacio de Blumberg.
Además, en Bredford & Goffman, Espacios métricos en los que se sostiene el Teorema de Blumberg , Proc. AMS (1960) puede encontrar la prueba de que un espacio métrico es Blumberg si es un espacio de Baire.
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