Dependiendo de las reglas y la técnica, una persona tirar un dado razonablemente puede controlar la cantidad de momento angular, la energía cinética total en el primer tierras y el ángulo de su trayectoria.
Quiero suponer que las colisiones de morir con el lanzamiento de la superficie tienen un nivel razonablemente alto coeficiente de restitución, basta con que el morir será objeto de un buen número de éxitos en la superficie antes de que se viene a descansar. (Uno podría imaginar un modelo alternativo, donde el principal aleatorización es agitando el morir antes de tirar, y al morir deja de donde aterriza ---- pero esa no es la situación que me interesa discutir).
Creo que hay un rango razonable de poliédricas morir formas y energías donde si el rebote fueron completamente elástica, el sistema podría ser ergodic --- las posibles posiciones y los movimientos de la die, hasta traducciones en el plano de el lanzamiento de la superficie, sería visitado una.s. en proporción a su medida entre todos los estados de la misma energía. Si la superficie de la lámina eran suaves, pero sólo marcó en diferentes áreas de contacto, esto no suele ser cierto: KAM teoría (pequeños divisores y invariante tori) muy a menudo hace que no se ergodic. Si al morir puede actuar como un trompo, no ergodic en que el nivel de energía. Pero creo que de los rolling mueren más como una partícula choca con numerosos obstáculos, y, como los sistemas que a menudo son ergodic.
El balanceo de un verdadero morir no es perfectamente elástica, y la energía cinética se pierde gradualmente.
He aquí una hipótesis que debe garantizar la equidad en el caso límite en el que la energía se pierde muy lentamente: supongamos que tenemos una regla para la partición del espacio de fases en sistemas de $A_i$ associaed con los diferentes resultados posibles. Queremos
La intersección de $A_i$ con cada nivel de energía E tiene un volumen de $V(E)$ independiente de $i$.
La dinámica es ergodic en cada uno de los componentes de cada nivel de energía que cruza más de una $A_i$.
El etiquetado por $A_i$ depende razonablemente en el nivel de energía --- para cada par de cerca los niveles de energía $E$ e $F$, para la mayoría de las $x$ en el nivel de energía de $E$ y más $y$ en el nivel de energía $F$ tal que $d(x,y) < \epsilon$, $x$ y $y$ están en el mismo estado. Además, el etiquetado no debe túnel a otro de los componentes conectados de el espacio de fase de energía $<\le E$:
los ratios de medición de $A_i$ cruzaba con cada componente de un nivel de energía debe permanecer igual.
Con estas hipótesis, con lo suficientemente lenta de la pérdida de energía, el estado final debe estar distribuidos de manera uniforme.
Si la dinámica suficiente de los niveles de energía también tiene un nivel razonablemente alto de la entropía y de la mezcla (yo creo que ambos son propensos a ser cierto razonable de morir formas), entonces la uniformización debe ocurrir bastante bien realista en las tasas de pérdida de energía.
La gran dificultad, aunque es condición (1). Creo que bastante a menudo, incluso con una simétrica morir, el espacio de fase se desconecta bien antes de morir viene a descansar.
Para una estándar cúbico de morir, ¿cuáles son los componentes del espacio de fase justo encima de donde se asienta sobre una cara? Creo que se puede rodar en los 4 lados y no tener la energía suficiente para cambiar el que los cuatro lados. En el mismo nivel de energía, podría estar girando lentamente sobre un eje vertical en una cara. Si es así, que haría 9 componentes, 6 de los cuales ya se han comprometido a una cara. Estos son el tipo de cosas que uno necesitaría para entender a mostrar un asimétrica morir es justo. Con más complicada dados, la fragmentación en componentes se ve mucho más complicado.
El volumen del espacio de fase deben ser equitativamente repartido en cada transición, donde el espacio de fase se desconecta, hasta que el resultado final está determinado, de lo contrario, uno podría influir en el resultado de la energía de la banda.
Connely sugerencia de un trenzado deltoidal Icositetrahedron podría funcionar, pero podría fallar la prueba de (1) los niveles de energía están disminuidos. A pesar de que cada cara es la misma, yo no estoy convencido de que la fragmentación de los continentes, antes de morir se ha asentado en una cara, sería justo, ya que es de suponer que depende más grande de los barrios que no son exactamente los mismos.
Si uno entiende en detalle cómo los componentes de los niveles de energía independiente y si no hay también muchos de ellos, entonces uno debe, en principio, ser capaz de diseñar un morir para ser justos con la ayuda de la Brouwer teorema de punto fijo (multi-dimensional teorema del valor intermedio). Parece ser todo un reto, sin embargo, para todos, pero los más simples ejemplos, cuando sólo hay un pequeño número de clases de simetría de las caras.
Probando 2 parece un reto importante. Supongo que podría estar equivocado, podría estar normalmente no ergodic. Es que vale la pena pensar en su propio derecho.
Más ideas:
Real dados están hechas con bordes redondeados y con esquinas redondeadas. Cómo este redondeo se hace parece significativo.
Si la imagen proyectada de un dado a lo largo de un cierto eje es casi redonda, a continuación, en niveles bajos de energía debe rodar más fácilmente sobre los ejes de alrededor de ejes donde la proyección se llena de baches, en igualdad de condiciones. Esto sugiere componentes más grandes de la fase de espacio para este tipo de rollos, cuando el espacio de fase se desconecta. También, dependiendo de los detalles de la forma, parece probable que hay ergodic componentes asociados con el desplazamiento en los niveles de energía de arriba, donde el espacio de fase se desconecta --- esto es similar a la estabilidad de una rueda de rodadura en somwhat accidentado del terreno, lo que se explica por la teoría KAM.
Parece interesante tratar de diseño de formas que aparecen justo, pero no lo son, por la explotación de este tipo de comportamiento: la creación de rodadura de modo o modos de balanceo que, como el morir se establece, tienden a canalizar el comportamiento de los resultados deseados.
