Demostrar que existen lineal funcionales $L_1, L_2$ $X$

Question

Deje $X$ ser un espacio lineal, $p, q$ sublinear funcionales en $X$, e $L$ un funcional lineal en $X$ tal que $|L(x)| ≤ p(x) + q(x),$ todos los $x ∈ X$. Demostrar que existen lineal funcionales $L_1, L_2$ $X$ tal que $L(x) = L_1(x) + L_2(x),$ $|L_1(x)| ≤ p(x), |L_2(x)| ≤ q(x),$ todos los $x ∈ X.$

Mi Trabajo:

Primero pensé que lo uso Hahn Teorema de Banach. Pero ya que no se conoce el subespacio fue inútil. Entonces traté de hacer las $L(x)$ $L(x)=\frac{L(x+\lambda)+L(x-\lambda)}{2}$ para algunos escalares $\lambda$ pero no pudo encontrar el adecuado $L_1$$L_2$. Creo que este problema es un poco complicado. Quiero probarlo yo mismo y solo necesito una pista para empezar. Puede alguien por favor me das una pista?

Answer 1

Tenga en cuenta que la especificación de un par de funcionales lineales en $X$ es el mismo que se especifica un funcional lineal $X\oplus X$, por escrito,$M(x\oplus y)= L_1(x)\oplus L_2(y)$. También, si $p,q$ son sublinear funcionales en $X$ $r(x\oplus y)=p(x)+q(y)$ define un sublinear funcional en $X\oplus X$.

Consideremos ahora la aplicación de Hahn-Banach para ampliar la funcionalidad $M$ sobre la diagonal de la $X\oplus X$ $M(x\oplus x)=L(x)$ a todos los de $X\oplus X$.

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Actualización: el Uso de la de Hahn-Banach teorema de como se sugirió anteriormente es sólo lo suficiente para obtener lineal funcionales $L_1,L_2$ satisfacción $L_1(x)\le p(x)$$L_2(x)\le q(x)$. Nota la ausencia del valor absoluto en el lado izquierdo de estas desigualdades. Una vez que pones los valores absolutos, entonces el resultado ya no se sostiene en general, como se muestra por Mizar del contraejemplo. Sin embargo, si nos restringimos al caso donde$p(-x)=p(x)$$q(-x)=q(x)$, a continuación, las desigualdades siguen siendo cierto cuando los valores absolutos se introducen, como puede verse por la aplicación de los mismos a ambos $x$$-x$.

Answer 2

En todos los casos, esto es falso: tomar $X=\mathbb{R}$, $L(x)=x$, $p(x)=x^+=\max\{x,0\}$ $q(x)=x^-=p(-x)$ . En este caso,$p(x)+q(x)=|x|$, por lo $|L|\le p+q$. Pero $L_1$ debe satisfacer $|L_1(x)|\le x^+$, por lo que $L_1(x)=0$ si $x\le 0$, es decir,$L_1\equiv 0$, y de la misma manera $L_2\equiv 0$, contradiciendo $L=L_1+L_2$.

Voy a demostrar que $L_1$ $L_2$ existen suponiendo que $p(-x)=p(x)$ $q(-x)=q(x)$ ($p$$q$ son seminorms).

Podemos dotar $X$ con una norma que $p,q$ continua: conjunto de $V:=\{x\in X:p(x)=q(x)=0\}$ (que es un subespacio lineal) y si $V$ es mayor que $\{0\}$ podemos resolver el problema en el cociente $X/V$, por lo que wlog asumimos $V=\{0\}$ (dime si esto no es claro). Ahora $\|x\|:=p(x)+q(x)$ define una norma en $X$ $p,q$ son continuas wrt esta norma.

Llame a $Y:=X\times \mathbb{R}$ y $C:=\{(x,t)\in Y:t>p(x)\}$, $D:=\{(x,t)\in Y:t<L(x)-q(x)\}$. Desde $p$ es continua y convexa (por qué?), su epígrafe $C$ es abierto y convexo. De la misma manera (desde $L-q$ es continua y cóncava) $D$ es abierto y convexo.

Por la primera forma geométrica de Hahn-Banach, existe un funcional lineal $f:Y\to\mathbb{R}$ tal que $f(y)>f(y')$ para cualquier $y\in C$, $y'\in D$. Escribir $f(x,t)=g(x)+\alpha t$ y observar que $\alpha>0$: de hecho, desde el $(x,p(x)+1)\in C$$(x,L(x)-q(x)-1)\in D$, tenemos $$ g(x)+\alpha \Big(p(x)+1\Big)>g(x)+\alpha\Big(L(x)-q(x)-1\Big), $$ que da $\alpha>0$$p(x)+1>L(x)-q(x)-1$.

Set $\gamma:=\inf_{y\in C}f(y)\ge \sup_{y'\in D}f(y')$. Desde $p(0)=0$ tenemos $(0,\epsilon)\in C$ cualquier $\epsilon>0$, con lo que conseguimos $\gamma=0$, lo $f(x,t)=g(x)+\alpha t>0$ cualquier $(x,t)\in C$. Esto le da a $g(x)+\alpha p(x)\ge 0$, es decir, $$ -\frac{g}{\alpha}\le p. $$ De la misma manera $$ -\frac{g}{\alpha}\ge L-q. $$ Finalmente poner el $L_1:=-\frac{g}{\alpha}$$L_2:=L-L_1$. Tenemos $L_1(x)\le p(x)$ $L_2(x)\le q(x)$ cualquier $x\in X$. La aplicación de este con $-x$ y el uso de nuestras hipótesis obtenemos $-L_1(x)=L_1(-x)\le p(-x)=p(x)$ y de manera similar a $-L_2(x)\le q(x)$. Por lo tanto $|L_1(x)|\le p(x)$$|L_2(x)|\le q(x)$.