Interpretaciones geométricas / físicas / probabilísticas de Riemann zeta (n> 1)?

Question

¿Cuáles son algunos físicos, geométricos o probabilístico interpretaciones de los valores de la Riemann zeta función en los enteros positivos mayores que uno?

He encontrado algunos ejemplos:

1) En MO-Q111339 en un Tamagawa número de GH estados

$$\mathrm{vol}(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=\zeta(2).$$

2) En "Quantum Calibre Teorías en Dos Dimensiones," Edward Witten deriva

$$\mathrm{vol}(\mathcal M)=\frac{2}{(\sqrt{2}\:\pi)^{2g-2}}\zeta(2g-2)$$

a partir de una forma de volumen para el espacio de moduli $\mathcal M$ de los planos de conexiones en un grupo gauge ($G=SU(2)$) de paquete de más de un compacto de dos dimensiones múltiples, una superficie de Riemann de género $g$, y, para la conexión de un suma de una superficie orientable de género $g$ con $k$ botellas Klein y $r$ copias del plano proyectivo $RP^2$, que se deriva

$$\mathrm{vol}(\mathcal M)=\frac{2(1-2^{1-(2g-2+2k+r)})}{(\sqrt{2}\:\pi)^{2g-2+2k+r}} \zeta(2g-2+2k+r).$$

3) En Wikipedia sobre la ley de Stefan-Boltzmann, el cuerpo negro de la radiación solar (energía total radiada por unidad de área de superficie de un cuerpo negro por unidad de tiempo) es dada como

$$j^{*}=2\pi\:3!\zeta(4)\:\frac{(kT)^{4}}{c^{2}h^{3}}.$$

(En el espacio n-dimensional, es proporcional a $n!\zeta(n+1)$, y la ley de Planck para la densidad de energía electromagnética en el interior de la 3-D de cuerpo negro tiene un factor adicional de $4/c$.)

4) En "Feynman del Sol Números," David Broadhurst da la tasa por unidad de área superficial en la que un cuerpo negro a la temperatura de $T$ emite fotones como

$$2\pi\:2!\zeta(3)\:\frac{(kT)^{3}}{c^{2}h^{3}}.$$

(Y la densidad de fotones en el interior del cuerpo tiene un factor adicional de $4/c$.)

Motivación: estoy motivada no sólo por el interés general, pero también por MO-Q111165 y MO-Q111770. Determinantes (volúmenes) de las matrices de adyacencia y, por lo tanto, el ciclo de índice de polinomios (CIPs) para el grupo simétrico de pop-up en la física estadística, por ejemplo, en Potts de q color de la teoría de campo y escalado random modelo de clúster, y el PIC se puede ser "reescalado" para obtener la completa Campana de polinomios (OEIS-A036040) que están relacionados con la cumulant de expansión de polinomios (OEIS-A127671), ambos de los cuales están relacionados con correlaciones estadísticas y sus diagrammatics (ver referencias en OEIS-A036040).

5) El $p_n(z)$ de MO-Q111165 parecen formalmente relacionados con las clases de Chern $c_{k}(V)$ de forma directa (infinito) de la suma de la línea de paquetes de $\:\:\:\: V=L_{1}\oplus L_2\oplus ...\:.$ :

Con $x_{i}=c_{1}(L_i)$, la primera de las clases de Chern,

$$p_k(z)=k!\:c_{k}(V)=k!\:e_{k}(x_{1},x_{2}, ...),$$

donde $e_{k}$ son de primaria simétrica polinomios. El $\zeta(n)$ puede ser identificado como el poder de las sumas de las primeras clases de Chern, y luego, por ejemplo,

$$3!\:c_{3}(V)=p_3(z)=(z+\gamma)^3-3\zeta(2)(z+\gamma)+2\zeta(3)$$ $$4!\:c_{4}(V)=p_4(z)=(z+\gamma)^4-6\zeta(2)(z+\gamma)^2+8\zeta(3)(z+\gamma)+3[\zeta^2(2)-2\zeta(4)].$$

Actualización (Nov. 16, 2012): Acabo de encontrar la secuencia en una tesis de R. Lu, "Regularización de la Equivariant Euler Clases y Funciones Gamma", que analiza la relación de Chern y Pontrjagin clases.

Véase también "Una parte integral de elevación de la Gamma-género" y "La motivic Thom isomorfismo" por Jack Morava y "Hodge teórico de los aspectos de la simetría de espejo" por L. Katzarkov, M. Kontsevich, y T. Pantev.

Answer 1

Aldeas del lugar, Fujita & Yor muestra para obtener Zeta funciones de Cauchy Variables Aleatorias para incluso los valores y el $\chi_4$ L-funciones para valores impares. Por alguna razón, ellos siempre vienen a este par.

Esta prueba es simplificado por Luigi Ritmo de $\zeta(2)$. El Cauchy variable Aleatoria es $$ p_X (x) = \frac{2}{1+x^2}$$

cuando nos fijamos en la relación de dos variables aleatorias $Y = X/X'$. $$ p_Y(y) = \frac{4}{\pi^2} \frac{\log y}{y^2-1}$$ A continuación, observe $\mathbb{P}(Y \geq 1) = \mathbb{P}(X < X') = \frac{1}{2}$. Así que calcular $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}= \int_0^1 \frac{-\log y}{1 - y^2} = \mathbb{P}(Y \geq 1)= \frac{\pi^2}{8}$$

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He aprendido a través de un blog de una prueba de uso de 2D el movimiento Browniano , al menos para el caso de $\zeta(2)$.

Supongamos que $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es una analítica de la función en el barrio de la unidad de disco. Este
la función de los mapas de la unidad de disco con el límite donde . Una de dos dimensiones, el movimiento browniano comenzó a $f(0)$ necesita un promedio de tiempo $$ \mathbb{E}[\tau] = \sum_{k \geq 1} |a_k|^2 $$ para salir de dominio $f(\mathbb{D})$ donde $f(z) = \sum_{k \geq 0} a_k z^k$ e $\tau = \inf \{ t > 0: B_t \in \partial f(\mathbb{D}) \}$ es el golpear el momento de la frontera .

Usted puede obtener $\zeta(2)$ considerando el movimiento Browniano en la franja de gaza $\{ x+iy: |x| < \pi/2 \}$ y la evaluación de los lados izquierdo y derecho. El movimiento Browniano tiempo de salida es $\tau = \pi^2/4$ e $$f(z) = \log\left(\frac{1-z}{1+z}\right) = -2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \dots \right)$$ mapas de la tira a la unidad de disco.

Este estilo se remonta a la arXiv artículo de Greg Markowsky.

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También echa un vistazo a este artículo de Noam Elkies que se refiere a la Alternancia de las permutaciones. Se puede demostrar que:

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} &=& \sum_{k= 0}^\infty \int_0^1 \int_0^1 (xy)^{2k}dx\, dy \\\\ &=& \int_0^1 \int_0^1 \left( \sum_{k= 0}^\infty(xy)^{2k} \right)dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 \frac{ dx \, dy}{1 - (xy)^2} \end{eqnarray*} Entonces que hace el extraño Calabi de sustitución: \[ x = \frac{\pecado u}{\cos v} ,y = \frac{\pecado v }{\cos u} \]

y se recupera un cálculo de identidad: \[ \int_0^1 \int_0^1 \frac{ dx \, dy}{1 - (x-y)^2} = \int_{u+v < \pi/2} 1 \, du \, dv = \frac{\pi^2}{8} \]

Esta prueba se extiende a las dimensiones superiores en Elkies' de papel.

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Luego se puede estudiar la transformación de la $T: L^2[0,\pi/2] \to L^2[0,\pi/2]$, la función característica de un triángulo.

\[ (Tf)(x)=\int_0^{\pi/2 -x} f(t) \, dt \]

y preguntar ¿cuándo $Tf = \lambda f$. El espectro de este operador es

\[ \lambda = \frac{1}{4k+1} , f_\lambda(x) = cos (4k+1)u \]

Entonces uno puede tomar la traza de $T^n$ y comparar el volumen de un polytope:

\begin{eqnarray} \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(4k+1)^k}&=& \sum_\lambda \langle f |T^n | f \rangle \\\\ & =& \mathrm{Vol}\bigg(\{0 < x_1 > x_2 < x_3 > \dots < x_{n-1} > x_n > \frac{\pi}{2}\}\bigg) \end{eqnarray} El volumen de este polytope puede ser expresada en términos de alternancia de las permutaciones.

La primera vez que supe de esta integral iterada idea en Stanley encuesta en la Alternancia de Permutaciones, pero también en algunos de los documentos por Chebikin en el Estacionamiento de las Funciones, esto parece ser un ejemplo de una cadena de polytope.

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¿Qué otras L-funciones puede tomar ordenada de valores como la $L(k) \in \mathbb{Q}\pi^k$ donde $k \in \mathbb{Z}$ ? Posiblemente necesite una extensión algebraica $K / \mathbb{Q}$.

Answer 2

Aquí hay una interpretación física de ζ (2): suponga que está atrapado en el tráfico detenido en un camino largo y que está parado justo en frente de su automóvil. Supongamos además que todos los autos detrás de ti te están tocando los cuernos. Entonces el ruido que escucha es ζ (2) veces más fuerte que el sonido de la bocina del primer automóvil. Por supuesto, hay una interpretación visual similar, tal vez más realista, usando la iluminación dada por una larga cadena de luces navideñas.

Answer 3

Aquí hay una generalización de la respuesta de GH con respecto a los números de Tamagawa:

Consulte las notas de Paul Garett: http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/volumes.pdf

PS

PS

Esto funciona para campos de números y campos de funciones globales análogos. Allí debe reemplazar Riemann zeta por la función Dedekind zeta o Hasse-Weil zeta y, además, aparecen los números raíz.

Answer 4

Escribí un artículo sobre este mismo tema titulado Valores Zeta en Geometría y Topología hace tres años. Mi pensamiento sobre los puntos del artículo ha evolucionado, en particular, estoy bastante convencido de que las preguntas 0.1-0.4 no son líneas de investigación fructíferas. Aún así, el material que contiene es fascinante para mí.

Answer 5

Se le preguntó por un geométricas interpretación. Deje $\gamma_\pm(a)$ ser de las dos formas geométricas descritas

por la ecuación trascendental $e^{-y}\pm~e^{-\large x^a}=1$. A continuación, sus áreas de $~a=\dfrac1n~$ son

$$ \begin{align} A_+&=-\int_0^\infty\ln\Big(1-e^{-\large x^a}\Big)dx=\Gamma(1+n)\cdot\zeta(1+n),\\ A_-&=-\int_0^\infty\ln\Big(1+e^{-\large x^a}\Big)dx=\Gamma(1+n)\cdot\zeta(1+n)\cdot(1-2^{-n}). \end{align} $$

Desde los diversos polinomio curvas, tales como los círculos de $(x^2+y^2=r^2)$, elipses & hyperbolae

$\bigg(\dfrac xa\bigg)^2\pm\bigg(\dfrac yb\bigg)^2=1$, superellipses $\bigg(\dfrac xa\bigg)^n+\bigg(\dfrac yb\bigg)^m=1$, etc., se han estudiado para

siglos, sólo parecía natural para ampliar esta línea de pensamiento, interrogándose acerca de las propiedades

de exponencial , como la de $a^{\large x^n}\pm b^{\large y^m}=1$.