¿Cuál es la idea de la prueba de Quillen de que todos los módulos proyectivos sobre un anillo polinómico son gratuitos?

Question

Uno de los más engañosamente difícil teoremas de las matemáticas es que todos los finitely generado proyectivas de los módulos a través de un polinomio de anillo son gratis. Esto implica que algunas de las más básicas nociones de álgebra conmutativa, y realmente suena como si debe ser fácil (el graduado caso, por ejemplo, es fácil), pero no lo es. La cuestión, al menos va tan lejos como Serre de la FAC, pero no fue demostrado hasta 1976, por Quillen EDIT: y también de manera independiente por Suslin.

He decidido que este es el tipo de hecho que debería conocer un esbozo de cómo demostrar, pero el papel no era muy útil. Por lo general, cuando alguien mata a una famosa conjetura en 5 páginas, es porque ellos han desarrollado algunos fantástica nueva pieza de la maquinaria de la población no tenía antes. Y, de hecho, Quillen es famoso por la invención de algunos de lujo y maravilloso de la maquinaria, y el papel es de sólo 5 páginas de largo, pero como lo que yo puedo decir, ninguno de los que la fantasía de la maquinaria que en realidad aparece en la prueba.

Así que, ¿qué fue lo que Quillen vi, que la Serre perdidas?

Answer 1

Aquí está un resumen de lo que he aprendido de una buena exposición de la cuenta por Eisenbud (escrito en francés), se puede ver como el número 27 aquí.

En primer lugar, en el estudio de un problema más general: Deje $A$ ser un Noetherian anillo, $M$ finita presentado proyectiva $A[T]$-módulo. Cuando se $M$ extendido de $A$, lo que significa que el es $A$-módulo de $N$ tal que $M = A[T]\otimes_AN$?

La prueba puede dividirse en 2 golpes:

Teorema 1 (Horrocks) Si $A$ es local y hay una monic $f \in A[T]$ tal que $M_f$ es gratuita a través de $A_f$,, a continuación, $M$ es $A$libre de

(esta declaración es mucho más elemental de lo que se afirma en Quillen del papel).

Teorema 2 (Quillen) Si para cada ideal maximal $m \subset A$, $M_m$ se extiende desde$A_m[T]$,, a continuación, $M$ se extiende desde $A$

(en $A$, local extendida implica globalmente extendido).

Así que la prueba de la Serre de la conjetura va de la siguiente manera: Vamos a $A=k[x_1,\cdots,x_{n-1}]$, $T=x_n$, $M$ proyectiva sobre $A[T]$. Inducción (invertir todo monic polinomios en $k[T]$ a reducir la dimensión) + además de la localización de la máxima ideales de $A$ + Teorema 1 muestran que $M$ es localmente extendida. Teorema 2 se muestra que el $M$ es realmente extendida de $A$, por lo que mediante la inducción debe ser libre.

Eisenbud nota también proporciona una muy elemental en la prueba de Horrocks del Teorema de, básicamente, el uso de álgebra lineal, debido a Swan y Lindel (Horrocks de la prueba original era bastante más geométrica).

Como Lieven escribió, la clave de la contribución de Quillen fue Teorema 2: la instalación de parches. En realidad, la prueba es bastante natural, no es sólo uno de los candidatos para $N$, es decir,$N=M/TM$, así que vamos a $M'=A[T]\otimes_AN$ y construir un isomorfismo $M \to M'$ a partir de la conocida isomorfismo localmente.

Es difícil responder a su pregunta: ¿qué Serre la señorita (-:? No sé de qué trató? Alguien sabe?

Answer 2

En realidad, Quillen prueba contienen una fantástica idea nueva : Quillen parches.

Se afirma que si $P$ es un fg proyectiva $R[t]$-módulo de entonces el conjunto de todas las f en $R$, de tal manera que (para localizaciones en la multiplicación de los sistemas de $ \left\{ 1,f,f^2,... \right\}$ $P_f$ se extiende desde $R_f$ (que es $P_f = Q \otimes_{R_f} R_f[t]$ para un proyectiva $R_f$-módulo de $Q$, es un ideal de $R$.

Aplicar esto a $R=\mathbb k[x_1,...,x_d]$, entonces la localización de $P$ en el conjunto de todos los monic polinomios en $R[t]$ es un proyectiva $k(t)[x_0,...,x_d]$ módulo de dónde libre por inducción. Pero, a continuación, $P_g$ es gratuito para algunos monic poli $g$ en $t$.

Ahora tome un ideal maximal $\mathfrak m$ de % de $R$ y considerar la extensión de $P\mathfrak m$ de % de $P$ a $R_\mathfrak{m}[t]$ (la localización en $\mathfrak m$). Debido a $(P\mathfrak m)_g$ es un servicio gratuito de $(R_\mathfrak{m}[t])_g$ módulo se desprende de Horrocks resultado que $P\mathfrak m$ es un servicio gratuito de $R_\mathfrak{m}[t]$-módulo y se extendió desde $R_m$. De dónde la Quillen-ideal para $P$ es igual a $R$. Serre de la conjetura sigue considerando a $1$ e inducción.