Uno de los más destacados aspectos de la disciplina de la teoría de números es que a partir de un número muy pequeño de las definiciones, las entidades y los axiomas que uno es llevado a una extraordinaria riqueza y diversidad de los teoremas, las relaciones y problemas, algunos de los cuales pueden ser fácilmente declaró sin embargo, son tan complejos que toman los siglos de los esfuerzos concertados de los mejores matemáticos para encontrar una prueba (Último Teorema de Fermat, ...), o se han resistido a tales esfuerzos (Goldbach de la Conjetura, de la distribución de los números primos, ...), o llevar a entidades matemáticas de gran complejidad, o requiere extraordinario esfuerzo colectivo, o se han caracterizado por Paul Erdös como "las Matemáticas no está preparado para tales problemas" (Conjetura de Collatz).
(Por supuesto, todas las ramas de la matemática tienen esta propiedad, en cierta medida, pero la teoría de los números parece el prototipo de caso, ya que ha atraído a algunos de los más serios esfuerzos en axiomization (Russell y Whitehead), que Gödel es un trabajo más relevantes a los fundamentos de la teoría de los números (más que, por ejemplo, la topología), y que ha habido una gran cantidad de trabajo en la cuantificación de la complejidad de la teoría de números--más de ecuaciones diferenciales, por ejemplo.)
Preguntas relacionadas, tales como una exploración de la relación entre el Teorema de Gödel y la complejidad de las matemáticas, han sido altamente valorado y evitado de alguna manera todos los esfuerzos para cerrar. Este problema actual parece más centrado en las referencias específicas, teoremas, y tal.
¿Cómo matemáticos profesionales entender mejor el origen fundacional de la complejidad en la teoría de los números? No creo respuestas tales como "una vez que las relaciones no son lineales las cosas se complican" o los de su calaña son intelectualmente satisfactorio. Uno puede referirse a la del Teorema de Gödel para "explicar" que la teoría de los números es tan complicado que no finito axiomitization de captura de todos sus teoremas, pero debemos considerar este teorema como, en cierto sentido, el origen de tal complejidad?
"Esta no es una opinión basada en" la pregunta (aunque es cierto que podría ser más apropiado para metamathematics o la filosofía de las matemáticas): estoy en busca de teoremas y conceptos matemáticos profesionales (en particular el número de teóricos) que se reconoce como esencial para nuestra comprensión del origen de la amplitud y complejidad de la teoría de números. ¿Por qué no la teoría de los números trivial?
¿Qué referencias, especialmente los libros, se han dedicado a atender específicamente el origen de las raíces profundas de la diversidad y la complejidad de la teoría de los números?
Por el contrario, creo que los físicos pueden señalar una serie de fuentes de la extraordinaria riqueza y variedad de los fenómenos físicos: es porque ciertas fuerzas (de alguna manera) actuar fundamentalmente diferente longitud y escalas de tiempo. Las reglas de la mecánica cuántica rigen la interacción de un pequeño número de partículas subatómicas. En lo suficientemente grandes escalas, sin embargo, la mecánica cuántica eficaz "apaga" de la mecánica clásica y domina, incluyendo en la mayoría de los de la mecánica estadística, donde es el gran número de partículas es relevante. En escalas más grandes (por ejemplo, la dinámica celeste), ignoramos los efectos cuánticos. Sí, los físicos están tratando de unificar la legislación, de modo que incluso la mecánica cuántica, que describe las interacciones de los quarks es de alguna manera unificada con la gravedad, la que rige en las escalas más grandes... pero el hecho de que estas fuerzas naturales diferentes escalas lleva cualitativamente diferentes clases de fenómenos a diferentes escalas, y, por tanto, la complejidad y la variedad de fenómenos físicos.
