Hay una mejora de la respuesta de Joseph Van Name que me parece mucho más acorde con el espíritu de la pregunta formulada:
Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico compacto, y supongamos que el mapeo $f\colon X\to X$ no disminuye las distancias, es decir $d(f(x),f(y))\ge d(x,y)$ para todos $x,y\in X$ . Entonces $f$ es una biyección.
Esbozo de una prueba. La prueba que se me ocurrió hace tiempo consiste en dos lemas.
Lema 1. Un mapa $f$ como la anterior debe ser una isometría.
Prueba. Dejemos que $(x,y)\in X\times X$ y considerar la secuencia $(f^k(x),f^k(y))$ . Desde $X$ es compacto, existe una subsecuencia convergente $\{(f^{k_i}(x),f^{k_i}(y))\}$ . En particular, la secuencia $\{f^{k_i}(x)\}$ es convergente, lo que implica que $\lim_{j>i\to\infty}d(f^{k_i}(x),f^{k_j}(x))=0$ y por lo tanto (ya que $f$ no disminuye las distancias) $\lim_{j>i\to\infty}d(x,f^{k_j-k_i}(x))=0$ . Lo mismo ocurre con la secuencia de las segundas coordenadas. Por lo tanto, $(x,y)$ es un punto límite de la secuencia $\{(f^k(x),f^k(y))\}$ . Supongamos que $d(f(x),f(y))>d(x,y)$ para algunos $x,y\in X$ . Entonces $d(f(x),f(y))-d(x,y)>\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ . Entonces $d(f^n(x),f^n(y))-d(x,y)>\epsilon$ para todos $n$ , lo cual es una contradicción.
Lema 2. Una isometría de un espacio métrico compacto es una biyección.
Prueba. Dejemos que $x\in X$ . Consideremos la secuencia $\{f^n(x)\}$ . Esta secuencia tiene una subsecuencia convergente $\{f^{k_i}(x)\}$ . Esto implica que $\lim_{j>i\to\infty}d(f^{k_i}(x),f^{k_j}(x))=0$ y por lo tanto (ya que $f$ es una isometría) $\lim_{j>i\to\infty}d(x,f^{k_j-k_i}(x))=0$ . Así, $x$ es un punto límite de la secuencia $\{(f^{k_j-k_i}(x)\}$ En particular $x$ es un punto límite de $f(X)$ . Pero una isometría es continua, y la imagen de un espacio compacto bajo un mapa continuo es un compacto, por tanto $x\in f(X)$ Así que $f$ es suryente. Como $f$ es manifiestamente inyectiva, la afirmación queda demostrada.
0 votos
El marco general es el siguiente: Un mapa inyectivo que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tamaño es suryectivo. Para los conjuntos, el tamaño se define como el número de elementos, para los espacios vectoriales, el tamaño es la dimensión, etc. Por lo tanto, se pueden suponer resultados similares en todas las categorías que tienen un concepto bien definido de "tamaño".
15 votos
El caso de la teoría de conjuntos implica realmente los otros dos. Los espacios de dimensión finita tienen sus mapas lineales totalmente decididos por el comportamiento en algún conjunto finito, y la compacidad es una especie de finitud generalizada de una topología.
10 votos
Conjetura de Gottschalk: fijar un grupo $G$ y un alfabeto finito $A$ . Entonces (inyectiva $\Rightarrow$ surjectivity) se mantiene para cualquier continuo $G$ -mapa equivariante $A^G\to A^G$ . Se mantiene cuando $G$ es sofic, que incluye la mayoría de los grupos conocidos.
5 votos
El segundo ejemplo puede extenderse a operadores de la forma Identidad + Operador compacto, sobre cualquier espacio de Banach, por la alternativa de Fredholm
1 votos
A veces hay resultados en la otra dirección. Por ejemplo, un endomorfismo epimórfico de un módulo generado finitamente sobre un anillo conmutativo es un automorfismo.
2 votos
@FernandoMartin de forma más general cualquier endomorfismo sobreyectivo de un módulo noetheriano sobre un anillo arbitrario es inyectivo. Esto tiene una contrapartida en la dirección requerida: cualquier endomorfismo inyectivo de un módulo artiniano sobre un anillo arbitrario es subjetivo.
9 votos
Palabra clave útil: un módulo sobre algo/grupo/lo que sea es cohopfiano (o cohopfiano, o tiene la propiedad cohopf) si todos sus endomorfismos inyectivos son automorfismos.
1 votos
@AsafKaragila Si ese es el caso, ¿por qué la inversa, que también es válida para los conjuntos finitos, no se traslada a las variedades compactas conectadas?
0 votos
@Daniel: En primer lugar, no sé lo suficiente sobre los colectores (compactos o no) para responder a eso. En segundo lugar, la compacidad es una generalización glorificada, no es realmente la finitud. Si tuviera que adivinar, diría que la razón es que la compacidad (cuando se habla de continuidad o cobertura abierta) es una finitud no limitada, en el sentido de que diferentes coberturas y funciones te dan un conjunto finito diferente. Mientras que en los espacios vectoriales tienes un límite muy concreto en el tamaño de tu conjunto finito: la dimensión.
0 votos
Tengo la sensación de que la noción de objeto compacto o objeto pequeño podría ser el marco abstracto adecuado. Por ejemplo, los espacios vectoriales de dimensión finita son objetos compactos en la categoría de todos los espacios vectoriales.
0 votos
En realidad el ejemplo 2 se extiende a los operadores lineales de Fredholm de índice $0$ -de alguna manera es una afirmación tautológica.
0 votos
Me doy cuenta de que la siguiente pregunta mathoverflow.net/q/88750 está estrechamente relacionado con éste. Por alguna razón, el sistema no los considera relacionados.
0 votos
La siguiente pregunta está relacionada: mathoverflow.net/questions/58812/