La evaluación de $\int_0^\infty \frac {\cos {\pi x}} {e^{2\pi \sqrt x} - 1} \mathrm d x$

Question

Estoy tratando de mostrar que$$\displaystyle \int_0^\infty \frac {\cos {\pi x}} {e^{2\pi \sqrt x} - 1} \mathrm d x = \dfrac {2 - \sqrt 2} {8}$$

He verificado que este numéricamente en Mathematica.

He probado sustituyendo $u=2\pi\sqrt x$ a continuación, utilizando el coseno de la serie de Maclaurin y, a continuación, el $\zeta \left({s}\right) \Gamma \left({s}\right)$ integral de la fórmula, pero esto no funciona porque intercambiando la suma y la integral no es válido, y los resultados en un divergentes de la serie.

Supongo que es fácil con análisis complejo, pero estoy en busca de un modo elemental, si es posible.

Answer 1

Esta integral es uno de Ramanujan en sus collected Papers, donde también se muestra la conexión con el pecado de los casos.

Definir $$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\frac{a\pi x}{b})}{e^{2\pi \sqrt{x}}-1}dx$$

Si a y b son ambos impares. En este caso, ambos son a=b=1.

A continuación, $$\displaystyle \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{b}(b-2k)\cos\left(\frac{k^{2}\pi a}{b}\right)-\frac{b}{4a}\sqrt{b/a}\sum_{k=1}^{a}(a-2k)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k^{2}\pi b}{a}\right)$$

dejando a=b=1 resultados en su publicado solución.