Vicente Lafforgue del trabajo abarcan muchos temas y contienen muchos resultados notables, pero la más probable, el trabajo reciente se ha descrito en el espíritu de la pregunta es Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands globale. En el lema de la forma, este trabajo demuestra la Langlands la correspondencia en el "automorphic a Galois" dirección para reductiva grupo más global de la función de campo de característica positiva.
Más precisamente, vamos a $F$ ser la función de un campo liso, proyectiva, geométricamente irreductible de la curva de $X$ sobre $\mathbb F_{p}$, vamos a $\mathbb A$ ser su adele anillo y deje $G$ estar conectada, reductora grupo de más de $F$ supone dividir por la simplicidad. Para $N$ de un número finito de sub-esquema de $X$, denotan por $K_N$ el compacto, abierto subgrupo de $G(\mathbb A)$ igual a la del núcleo de $G(\mathbb O)\rightarrow G(\mathcal O_N)$ donde $\mathbb O$ es el producto de la unidad de las bolas de los campos locales $F_v$ e $\mathcal O_N$ es el anillo de funciones en $N$. Denotar por $Z$ el centro de la $G$ y corregir $\Xi$ un entramado dentro de $Z(F)\backslash Z(\mathbb A)$. Finalmente solucionar $E$ de un número finito de extensión de $\mathbb Q_\ell$ donde $\ell\nmid p$.
Luego de lo finito-dimensional $E$ espacio vectorial
$$C^{\operatorname{cusp}}_c(G(F)\backslash G(\mathbb A)/K_N\Xi,E)$$
de cuspidal funciones admite directa de la suma de descomposición indexados por global de Langlands parámetro
$$\sigma:\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)\longrightarrow \widehat{G}(E)$$
con valores en la Langlands dual grupo. Esta descomposición es compatible con la Satake isomorfismo.
Además el resultado en sí, el método que él introdujo el llamado de la excursión de los operadores) se ve muy prometedor, incluso en la característica cero caso.
Digamos algo acerca de lo que este método conlleva. La estrategia estándar, que se remonta al menos a Eichler-Shimura, para la comprobación de las declaraciones de este tipo es el estudio de la cohomology grupos de espacio (en el caso clásico, un modular de la curva o Shimura variedad, y en la función de campo de caso, un espacio de moduli de Shtukas) y demostrar que admite un Galois de acción y una acción de los operadores de Hecke y, a continuación, mostrar que la Hecke espacio propio es un Galois representación derivadas de un Langlands parámetro $\sigma:\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)\longrightarrow \widehat{G}(E)$ compuesto con algunos fijos representación de $\widehat{G}(E)$.
Esto funciona bastante bien cuando se $G = GL_n$, y fue utilizado por Vicente, el hermano Laurent Lafforgue un gran efecto en ese caso. Sin embargo, hay algunas dificultades para los otros grupos. Si hemos de escoger el subespacio de las cohomology correspondiente a un determinado automorphic forma, puede ser difícil demostrar que la Galois acción de factores a través del grupo de $\hat{G}$, o podría factor a través del grupo de $\hat{G}$ en varios indistinguible maneras.
V. Lafforgue resuelve este trabajando simultáneamente con la cohomology de una gran variedad de espacios, en la que Langlands parámetros se espera que aparecen a través de las diferentes representaciones. Él define varios mapas diferentes entre los cohomology de estos diferentes espacios. Componer estos mapas apropiadamente, él define la excursión de los operadores en el espacio original $C^{cusp}_c$ de automorphic formas. Estos operadores son los operadores de Hecke, pero no están limitados a ellos. Satisfacer algunas relaciones, formando un anillo, cuyos personajes se comprueba por la abstracta teoría del grupo corresponden a Langlands parámetros. La compatibilidad con Satake puede ser establecido mediante la comparación de estos operadores a los clásicos operadores de Hecke.
