Teorema de Atiyah-Singer: una visión general

Question

Hasta ahora he hecho varios intentos de aprender realmente el teorema de Atiyah-Singer. Para entender realmente este resultado se requiere una base bastante amplia: es necesario conocer el análisis (operadores pseudodiferenciales), el álgebra (álgebras de Clifford grupos de espín) y topología algebraica (clases características, teoría de K, carácter de Chern ). Así que cada vez que me he atascado en algún lugar y tengo demasiadas dudas para continuar mi viaje en el ámbito de la teoría de los índices. Finalmente llegué a la conclusión de que lo que me falta es una visión general de los distintos enfoques del teorema del índice: hay muchos libros (excelentes) que tratan el tema, pero antes de llegar a la demostración del teorema del índice en sí hay que pasar por unas 150 páginas de material de fondo (que normalmente parcialmente saber).

Algunas cuestiones que ya he resuelto :

1. Existen al menos dos enfoques: el que utiliza la teoría K y el segundo llamado enfoque del núcleo de calor. Según tengo entendido, para el primero se requieren buenos conocimientos de topología algebraica, mientras que para el segundo hay que saber cosas de geometría diferencial (conexiones, curvaturas, etc.)

2. Por lo que sé, estos enfoques tienen diferentes rangos de aplicabilidad: el enfoque del núcleo de calor es más restrictivo y no incluye todos los operadores diferenciales elípticos.

3. Hay algunas otras pruebas (usando la homología K - ver el libro de Higson y Roe, a través del grupo tangente, también hay una prueba bastante reciente debida a Paul Baum)

¿Qué respuesta(s) me gustaría ver?

Me gustaría reunir en un solo lugar varios enfoques posibles para la demostración del teorema del índice junto con la discusión de los principales ingredientes necesarios para completar dicha prueba (por ejemplo: "se necesita un buen comprensión de la teoría K no sólo para los espacios compactos, sino también para los localmente compactos. También hay que entender la periodicidad de Bott y el teorema del isomorfismo de Thom), la formulación de la fórmula del índice junto con la comparación y la relación con otras fórmula de índice (por ejemplo: se obtiene el índice topológico como una clase de teoría K para obtener la famosa fórmula cohomológica (que implica la clase Todd) se aplica carácter de Chern) y finalmente el nivel de generalidad de la formulación del teorema del índice (por ejemplo: este enfoque funciona para todos los operadores diferenciales elípticos).

Tal vez esta pregunta sea amplia, pero tengo la impresión de que no soy la única persona que encontrará útil una discusión de este tipo.

Answer 1

Bueno, supongo que no hay un camino real hacia el Teorema del Índice.

Creo que lo que se necesita para entender el teorema del índice de Atyiah-Singer es lo contrario de una gran imagen. Es más fácil entender casos particulares antes de saltar al enunciado completo. El gran problema es que si te metes de lleno en alguna demostración del Teorema del Índice es que no proporcionará ningún ejemplo para construir la intuición y la comprensión. En realidad es una abstracción sobre abstracciones sobre objetos geométricos y analíticos.

Así que sugeriría empezar con las aplicaciones del teorema, entender estos casos particulares por sí mismos, antes de pasar a la demostración general. Leyendo el apartado I.2 y el capítulo II del libro de P. Shanahan titulado "El teorema del índice de Atyiah-Singer" LNM 638, aunque no todo tenga sentido, obtendrá una "visión general", por así decirlo, de las aplicaciones del Teorema del Índice y luego y luego puedes empezar a sumergirte en las pruebas clásicas de estas aplicaciones, que te enseñarán en orden, una a una, todas las diferentes nociones que necesitas para entender el Teorema del Índice. Utilice el capítulo II del libro de Shanahan como hoja de ruta.

El teorema de Atiyah-Singer es realmente una síntesis de muchos teoremas de muchas partes de las matemáticas. Sugiero algunas referencias más arriba, pero en realidad sólo hay que hojearlas, no leerlas de cabo a rabo. Así que aquí tienes algunas sugerencias para el autoestudio.

La característica de Euler

La primera aplicación del teorema del índice es recuperar la fórmula de Gauss-Bonnet en superficies, que establece una relación entre la característica de Euler de una superficie y la integral de la curvatura de alguna métrica riemanniana sobre la superficie. y el teorema de Hopf que relaciona la característica de Euler con los ceros de los campos vectoriales. Al aprender las pruebas clásicas de estos resultados (por ejemplo, en Do Carmo "curvas y superficies" y quizás Milnor, "topología desde el punto de vista diferencial" ), verás interesantes ejemplos de la interacción entre la topología y la geometría diferencial.

Entonces es bueno leer más sobre la característica de Euler en un libro de topología algebraica (por ejemplo, Greenberg, "algebraic topology" Parte 2, cap. 20) y un libro de topología diferencial (por ejemplo, Hirsch "topología diferencial" , ch 4 y 5 o Bott-Tu "formas diferenciales en topología algebraica" I.6) A continuación, hay que conocer la relación entre la característica de Euler y la cohomología de De Rham de las formas diferenciales. El Laplaciano hace su primera aparición allí. No estoy seguro de qué recomendar aquí, quizás un libro sobre operadores pseudodiferenciales, o los capítulos I y III de Rosenberg "El Laplaciano en una Manifestación de Riemann" donde el teorema de Gauss-Bonnet.

La característica de Euler es un caso particular de una característica clase, por lo que probablemente estés preparado en ese punto para leer una gran parte del libro de Milnor "Clases características" o la parte correspondiente de Bott-Tu.

El teorema del punto fijo de Lefschetz

Este teorema del punto fijo es otro caso especial del Teorema del Índice. Puedes aprender sobre él en, por ejemplo, Greenberg y hacer la conexión con el enfoque diferencial en Hirsch y Bott-Tu. También es interesante echar un vistazo al enfoque más combinatorio que se puede encontrar en el libro original de Lefschetz.

Teorema de Riemann-Roch-Hirzebruch

Esta fórmula aparece en la geometría analítica y calcula la dimensión de funciones meromorfas con valor en haces vectoriales holomorfos. El caso de las curvas (superficies de Riemann) es bastante interesante de estudiar. Un nuevo operador, el operador de Dolbeaut, hace su aparición aquí. Tal vez haya que fijarse en Griffiths-Harris, "principios de geometría algebraica" , cap.II, III.3, III.4. pero debería haber libros más ligeros dedicados al caso de Riemann-Roch para superficies utilizando el operador Dolbeaut.

En ese momento, deberías ver que hay un denominador común en todos estos resultados y entonces es el momento de ver la prueba general prueba general del Teorema del Índice.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de @coudy en que el mejor enfoque es entender primero los casos especiales / aplicaciones / generalizaciones del teorema. Eso puede ayudar a resaltar algunos de los puntos de dolor clave en las diversas pruebas, y motivar algunas de las ideas involucradas. Sin embargo, intentaré responder a la pregunta principal: ¿cómo funcionan las pruebas y qué implica?

Creo que básicamente todas las pruebas pueden organizarse en tres categorías:

1. Teoría K (topología)
2. Teoría K (álgebras de operadores)
3. Calentar los granos

1 y 2 son bastante similares y probablemente más o menos equivalentes, pero se prestan a diferentes generalizaciones. Las técnicas de 2 son responsables de muchas de las aplicaciones más punteras, por ejemplo, a la conjetura de Novikov o a la geometría no conmutativa.

La 3 parece ser completamente diferente, o al menos no creo que nadie pueda pretender entender por qué las técnicas de la 1 y la 2 son capaces de demostrar el mismo teorema que las técnicas de la 3. Por otra parte, la 3 es necesaria (dado el estado actual de la literatura) para ciertas aplicaciones y generalizaciones, como el teorema del índice de Atiyah-Patodi-Singer para las variedades con límite. También es bastante difícil resumir las ideas principales, ya que hay mucho análisis y teoría de EDP en juego.

En esta respuesta trataré de explicar y comparar 1 y 2; si tengo tiempo más adelante podría volver a tratar la 3 en otra respuesta.

Pruebas de la teoría K

Ambos tipos de pruebas de teoría K (1 y 2) siguen el mismo patrón básico; las diferencias están en cómo se definen y calculan los mapas relevantes. He aquí un esquema general expresado en la forma moderna de pensar (haciendo hincapié en la K-homología y los operadores de Dirac).

1. Definir el operador de Dirac $D$ en un espín riemanniano (o espín $^c$ ) colector $M^{2k}$ y mostrar que define la clase fundamental en la K-homología: $[D] \in K_{2k}(M) \cong K_0(M)$ .
2. Demostrar que el emparejamiento de dualidad de Poincare entre la teoría K y la K-homología aplicada a la clase fundamental $[D]$ envía la clase de teoría K de un haz vectorial $E$ al índice de Fredholm del operador de Dirac retorcido $D_E$ . Esto da un mapa analítico de índices $K^0(M) \to \mathbb{Z}$ que es un isomorfismo.
3. Construir un mapa de índices topológicos $K^0(M) \to \mathbb{Z}$ como sigue. Incrustar $M$ en $\mathbb{R}^n$ y aplicar el isomorfismo de Thom para obtener una clase de teoría K en el haz normal de $M$ se utiliza un difeomorfismo del haz normal a un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ para obtener una clase de teoría K en un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ y aplicar el mapa de la vía equivocada en la teoría K para obtener una clase en $K_0(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{Z}$ .
4. Calcula que los mapas de índices analíticos y topológicos coinciden.
5. Aplicar los caracteres de Chern en todas partes para obtener una fórmula en cohomología - nótese que el isomorfismo de Thom en teoría K y el isomorfismo de Thom en cohomología no son compatibles con los caracteres de Chern, por lo que la clase Todd aparece como un término de corrección.
6. Reducir el teorema del índice para un operador elíptico arbitrario al teorema del índice para los operadores espinores de Dirac. (Esta es una versión de la construcción de embrague; aquí es una buena referencia moderna).

Esto debería indicar cuáles son los prerrequisitos: un poco de geometría de espín para definir los operadores de Dirac, algo de análisis para mostrar que el índice de Fredholm existe y está bien definido en la teoría K, y algo de topología para construir el mapa topológico del índice.

Prueba 1 (Teoría K topológica)

La estrategia de la prueba consiste en mostrar que el mapa analítico de índices es un isomorfismo, el mapa topológico de índices es un homomorfismo, y ambos mapas son funcionales en $M$ . Esto significa que los dos mapas son siempre iguales si lo son en un ejemplo, y se puede comprobar por cálculo directo en, por ejemplo, la esfera (donde el teorema del índice es básicamente el teorema de la periodicidad de Bott).

Una buena referencia es el artículo original de Atiyah y Singer "Index of Elliptic Operators I", aunque hay que tener en cuenta que no utilizan explícitamente la K-homología y que ni los operadores de Dirac ni la fórmula cohomológica se introducen hasta IEO III. No obstante, las ideas son prácticamente las mismas.

Baum y Van Erp proporcionan una referencia moderna que completa el esquema utilizando métodos puramente topológicos.

Prueba 2 (Teoría K del operador)

La idea de la prueba algebraica del operador es utilizar los grupos bivariantes de Kasparov $KK(A,B)$ donde $A$ y $B$ son álgebras C*. La K-homología de $M$ es el caso especial $KK(C(M), \mathbb{C})$ y la teoría K es el caso especial $KK(\mathbb{C}, C(M))$ . Hay un producto en la teoría KK:

$$KK(A,B) \times KK(B,C) \to KK(A,C)$$

y en el caso especial de que $A = C = \mathbb{C}$ y $B = C(M)$ se recupera el mapa de índice analítico como

$$K^0(M) \times K_0(M) \to KK_0(\mathbb{C}, \mathbb{C}) \cong \mathbb{Z}$$

(es decir, el producto de la clase de teoría K de un haz vectorial y la clase de K-homología del operador de Dirac es el índice del operador torcido por el haz). El producto KK es functorial para los homomorfismos de las álgebras C* en todos los factores, y es compatible con todos los ingredientes del mapa topológico de índices (por ejemplo, el isomorfismo de Thom es sólo un producto KK con el elemento Bott en la teoría K). Así que la prueba del teorema del índice se convierte en un pequeño y sencillo cálculo con productos KK.

Este es un enfoque muy poderoso y atractivo, pero los grupos de Kasparov y especialmente el producto de Kasparov son difíciles de definir. Probablemente las mejores referencias son Teoría K para C $^\ast$ álgebras por Blackadar y K-homología analítica por Higson y Roe.

Answer 3

Por si acaso, permítanme añadir unas palabras sobre la prueba del núcleo de calor. Es cierto que se necesita un poco de análisis. Pero no hay que olvidar que incluso el $K$ -La prueba teórica depende de la noción de operadores pseudodiferenciales y, por lo tanto, no puede evitar completamente el análisis.

También es cierto que la prueba sólo funciona bien para los operadores de Dirac. Pero entonces, los operadores de Dirac generan $K$ -y la mayoría de las aplicaciones del teorema del índice se formulan en términos de (perturbaciones de orden 0) operadores de Dirac. Los comentarios contradictorios son bienvenidos. Los ejemplos más destacados se mencionan en la respuesta de Coudy, pero habría que añadir el operador de firma (que es el operador de Euler con respecto a una graduación diferente), y el llamado sin torsión Operador de Dirac.

El único inconveniente real es que sólo se ve la imagen del índice en la cohomología racional. Pero entonces, utilizando técnicas de índice familiar o $\eta$ -invariantes, a veces se puede recuperar un poco más del contenido topológico del índice.

La prueba consiste en las siguientes ideas principales.

1. El truco McKean-Singer. Esto sigue funcionando para todos los operadores diferenciales elípticos. Si $P\colon\Gamma(E)\to\Gamma(F)$ es un operador diferencial elíptico en una variedad $M$ , considere su adjunto $P^*\colon\Gamma(F)\to\Gamma(E)$ . Entonces tiene sentido considerar $$\operatorname{ind}(P)=\operatorname{tr}\bigl(e^{-tP^*P}\bigr)- \operatorname{tr}\bigl(e^{-tPP^*}\bigr)\;.$$ En el límite $t\to 0$ los trazos anteriores se convierten en local, es decir, se pueden representar mediante una integral sobre $M$ que sólo depende de los coeficientes de $P$ en coordenadas locales.

A partir de aquí, se podría intentar demostrar que sólo un número finito de términos geométricos puede contribuir al índice. Esta fue la idea de Gilkey y Patodi. Una de las dificultades proviene del hecho de que la contribución relevante al índice se encuentra en el $t^0$ -de la expansión asintótica, que es de lejos no el término principal. Sin embargo, en el caso especial de los operadores de Dirac, se evita este problema.

2. Reescalado de Getzler. Si $P=D$ es un operador de Dirac, entonces $\Delta=D^*D\oplus DD^*$ es un operador de Laplace, y $e^{-t\Delta}$ es el núcleo de calor estándar. Se realiza un reescalado parabólico estándar del espacio y el tiempo junto con el reescalado de Getzler del álgebra de Clifford para mostrar que como $t\to 0$ , $\Delta$ converge contra un operador modelo que parece un oscilador armónico con coeficientes en $\Lambda^{\mathrm{even}}T^*M$ . La contribución pertinente al índice aparece ahora en el orden de mando término gracias al truco de Getzler. Esto sólo funciona si $D$ es compatible con una métrica de Riemann (aquí se hace uso de la invariancia de homotopía del índice para lograrlo), y hay que elegir coordenadas locales agradables.

3. La fórmula de Mehler. El núcleo de calor para el operador modelo tiene una fórmula explícita fácil en términos de la curvatura de Riemann y los coeficientes del operador de Dirac.

4. Teoría de Chern-Weil. El resultado del paso 3 es una integral sobre $M$ de un polinomio invariante, aplicado a la curvatura de Riemann y al llamado retorciendo curvatura del haz de Dirac en el que $D$ actos. De ahí que pueda interpretarse como la evaluación sobre el ciclo fundamental de $M$ de una expresión en clases características.

De hecho, como se señala en los comentarios a la respuesta de Paul, no se necesita ningún análisis avanzado. Se necesitan algunas nociones de un primer curso de geometría de Riemann. La parte más complicada parece ser el reescalado de Getzler, que es principalmente algebraico.