¿Todo número primo > 19 divide a uno más el producto de dos primos más pequeños?

Question

Esta es una parte de mi respuesta a esta pregunta Creo que merece ser tratado por separado.

Conjetura Dejemos que $A$ sea el conjunto de todos los primos de $2$ a $p>19$ . Sea $q$ sea el siguiente primo después de $p$ . Entonces $q$ divide $rs+1$ para algunos $r,s\in A$ .

Me pregunto si esta conjetura ya se conoce. Lo he comprobado para todos los $p<692,000$ .

Una reformulación de la conjetura es la siguiente (motivada por el comentario de Gjergji Zaimi). Sea $p > 19$ sea primo. Sea $A$ sea el conjunto de primos $< p$ considerado como un subconjunto del grupo multiplicativo cíclico $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*$ . Entonces el producto $A\cdot A$ contiene $-1$ .

Es interesante saber cómo de grande es $A\cdot A$ es. Esto parece estar relacionado con los resultados de tipo Freiman de Green, Tao y otros. Además, como ha señalado Timothy Foo, quizá pueda aplicarse el método de Vinogradov de las sumas trigonométricas.

Answer 1

Esta respuesta es una heurística en la línea de Joro.

Utilizamos $p,q,r$ para denotar los primos. Sea $S(p,a)$ denotan el número de pares de primos $(q,r)$ con $q,r\leq p$ y $p|(qr+a)$ . Nos interesa el caso $a=1$ pero en general por las relaciones de ortogonalidad de los caracteres tenemos $$ S(p,a)=\frac{1}{\phi(p)}\sum_{r\leq p}\sum_{q\leq p}\sum_{\chi\ \text{mod}\ p}\overline{\chi}(-a)\chi\left(qr\right).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ Reordenando esto es $$S(p,a)=\frac{1}{p-1}\sum_{\chi\ \text{mod}\ p}\overline{\chi}(-a)\left(\sum_{q\leq p}\chi\left(q\right)\right)^{2}.$$

Podríamos esperar, como suele ser el caso, que las sumas sean todas muy pequeñas excepto cuando $\chi$ es principal, y que sólo el personaje principal contribuye. Teniendo esto en cuenta, esperamos

$$S(p,a)\approx \frac{1}{p} \text{li}(p)^2.$$

Esto es lo mismo que conjeturar que $S(p,a)$ no varía mucho entre $a$ . En particular, si hacemos una media de todos los $a$ modulo $p$ entonces utilizando (1) junto con la relación de ortogonalidad $\sum_{a\text{ mod } p}\sum_{\chi\text{ mod } p}\chi (a)=\phi(p)$ vemos que $$\frac{1}{\phi(p)}\sum_{a\text{ mod } p} S(p,a)=\frac{1}{p-1}\sum_{r\leq p}\sum_{q\leq p}1=\frac{1}{p}\pi(p)^2\sim \frac{1}{p}\text{li}(p)^2.$$

Numéricamente esto es notablemente cerrar por $a=1$ . Utilizando el cálculo realizado en la respuesta de Joro, dejando que $a=1$ y $p=1000003$ tenemos $$S(p,1)=6184$$ mientras que $$\frac{1}{p} \text{li}(p)^2=6182.307\dots $$

Ahora sólo queda entender la suma $$\sum_{q\leq p}\chi\left(q\right)$$ para un carácter modulo $p$ . Sin embargo, creo que esto es muy difícil.

Answer 2

Un programa pari/gp verificó la conjetura a $10^9$ en unos 40 minutos.

Por razones probabilísticas ingenuas, yo esperaría que el número de soluciones fuera de aproximadamente $\frac{p}{(\log{p})^2}$ . Para $p=1000003$ obtuvo 6184 soluciones y la expectativa era de 5239.

Aquí está el programa pari:

{
inv1(p)=
local(q,a);
forprime(q=2,p-1,
a=lift(Mod(-1,p)/q);
if(isprime(a),return(1););
);
return(0);
}
default(primelimit,10^10)

forprime(p=23,10^9,a=inv1(p);if(a==0,print("+++",p);break; );/*print(p)*/)

Answer 3

Tal vez esta sea otra perspectiva de este problema. En una respuesta a una pregunta que había hecho anteriormente en Math Overflow, "¿Una función de Möbius generalizada?" En la respuesta a la pregunta de la Comisión, se citó el siguiente documento de Addison (que simplemente copio de esa respuesta):

A Note on the Compositeness of Numbers, A. W. Addison, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 8, No. 1 (Feb., 1957), pp. 151-154

En este trabajo se demuestra que si se dividen los enteros en $q$ clases en función de si $\Omega(n)$ es $0,1,\dots,q-1 \bmod q$ , $q>2$ entonces la función $C_{q,i}(x)$ que cuenta los enteros menores que $x$ con $\Omega(n) \equiv i \bmod q$ satisface

$$ C_{q,i}(x) - \frac{x}{q} = \Omega_{\pm}\left(\frac{x}{(\log x)^r}\right) $$

donde $r = 1-\cos(2\pi/q)$ . (Aquí las variables $q$ y $r$ están tomados del documento y significan cosas diferentes a las de otras partes de esta página).

Supongamos que las frecuencias relativas de $\Omega(n) \bmod q$ no debería diferir mucho si consideramos $n\in [1,p^2]$ ou $n\in (p\mathbb{Z}-1)\bigcap [1,p^2]$ . Entonces tomamos $x$ para ser sobre $p^2$ y $q$ para ser sobre

$$ f(p)=\max_{n \in (p\mathbb{Z}-1)\bigcap [1,p^2]}\Omega(n). $$

Entonces una condición necesaria (pero no suficiente) para la conjetura es que $C_{f(p),2}(p^2)\geq 1$ . No estoy muy seguro de si se puede tomar $x$ y $q$ en este rango relativo, pero si es así, ni siquiera se puede obtener una condición necesaria de esto porque, usando $1-\cos x \approx x^2/2$ para los pequeños $x$ tenemos

$$ f(p) \gg (\log p)^{1-\cos(2\pi/f(p))}. $$