Agregó 22 De Octubre:
Mientras reflexiona sobre esta pregunta y el debate posterior, caí de nuevo en un
bits de un sermón del estado de ánimo. Tengo la esperanza de ser perdonado por la inserción de dos palabras de
precaución.
Hay una diferencia, probablemente significativo, entre la falta de interés
y agresivo falta de interés. La mayoría de la gente sabrá a qué me refiero con esto,
Creo que. El último es, probablemente, la mejor manera de evitarlo. Ahora, yo no estaría demasiado fuerte sobre
acabar con
por completo, ya que algunas personas parecen derivar sustancial creativo
energía por estar en contra de algo, tanto en las matemáticas y en el mundo en general.
Pero para la mayoría de nosotros,
al menos contemplativa versión de desinterés es, creo, más destructivo que
constructiva.
Puesto que ya he expuesto en el punto de vista dominante,
podría estar bien para variar un poco.
Es bueno educar a sí mismo acerca de la moda y, probablemente, sensible a
siga una cantidad justa. Pero luego están los verdaderos clichés acerca de
el pensamiento independiente.
Tengo edad suficiente para haber sido testigos de primera mano el fervor que rodea el
maravillosa prueba de
FLT. En este punto, estoy seguro de que muchos de nosotros puede recitar de memoria todas las razones por las que es más importante
de Goldbach, por ejemplo, y la importancia de la relación con la modularidad, etc.
De hecho, esto puede ser un razonable punto de vista.
Sin embargo, para ser honesto, yo rara vez tengo la impresión entonces de que el joven experto en la sala común estaba
haciendo más que eso: recitar el punto de vista.
Supongo que soy sólo la repetición de la obviedad de que la moda puede ser muy
sensato, pero servil adhesión a él no lo es. Así que si usted se siente fuertemente
algunos específica de la ecuación de Diophantine que no encaja en la permanente paradigmas,
mi consejo es pensar con la suficiente frecuencia para ver si algún ideas a desarrollar. Espero que no tergiversar él, pero Swinnerton-Dyer, una vez dijo que muy pocas personas se han interesado en L-funciones todo el tiempo que él fue el primero en experimentar con puntos en curvas elípticas. Incluso ahora, él va a hablar con pasión considerable acerca de una ecuación única, o al menos, acerca de una sola familia especial.
(Sin embargo, espero que estos párrafos no golpeará como la regurgitación de algunos superficial
la fe en la 'diversidad'. Tengo algo de eso, pero algo de matemáticas es claramente mejor que los demás).
Respecto de Goldbach, tengo la curiosa impresión de que está a punto de ganar sustancialmente en respetabilidad,
especialmente con el notable ascenso de aditivo de la teoría de los números relacionados con el trabajo
de Gowers, Green-Tao, et. al. Yo trato de pensar en mí mismo
cada ahora y entonces, en parte debido a la influencia de Shinichi Mochizuki,
que insiste en la visualización de la conexión entre el aditivo y multiplicativo estructuras en aritmética
a través del prisma de la no-abelian fundamentales de los grupos.
Oops! Me gustaría aclarar de inmediato que mis comentarios acerca de Fermat y de Goldbach se significan de ninguna manera como una crítica de Jordania bonita respuesta.
Original respuesta:
Una adecuada respuesta puede requerir al menos un ensayo, pero aquí es una síntesis intento.
Dos clases de ecuaciones ya han sido discutidos en las otras respuestas:
(1) Algunas de las ecuaciones que son "interesante" por su especial o exóticas propiedades. Estoy bastante de
como el clásico de las matemáticas generadas por la ecuación de $$x^3+y^5=z^2$$ mencionado en Mike Bennett comentario. Suave cúbicos superficies como
$$x^3+y^3+z^3+w^3=0$$
son también muy agradable con sus veinte-siete líneas que finalmente influyen en su aritmética. Fermat ecuaciones puede ser apreciado por sus similarmente alto grado de simetría que induce el complejo de multiplicación en su Jacobians. Por el camino, independientemente de su edad, me parece Calabi-yau variedades muy fascinante mí mismo, debido a la interacción entre Hodge-teórica y Diophantine propiedades
es un fenómeno sutil merecedor de estudio.
Obviamente no hay ningún criterio objetivo que se ofrecen aquí, pero sigue siendo una ecuación puede aparecer como especialmente interesantes en la misma manera en que ciertos espacios son interesantes o algunos animales son interesantes.
Que excitar a un cierto deseo de saber acerca de ellos en considerable detalle. De la investigación con el afecto es generalmente ricamente recompensado en estos casos.
(2) las Ecuaciones que se presentan, mientras que el estudio de algún otro problema. Pell las ecuaciones anteriormente citadas, y se podría considerar otra norma ecuaciones, mientras que el estudio de los campos de número. Keith se refirió también a la relación entre el alcance ABC conjetura de Mordell de la ecuación. Otra clase de niza de curvas elípticas de esta naturaleza son $$y^2=x^3-n^2x,$$ which were famously connected to the congruence number problem on the area of right angle triangles with rational sides and areas. A spectacular example in the ABC vein is Mazur's study of points on modular curves that gave rise to uniform bounds on the torsion subgroup of all elliptic curves over $\mathbb{Q}$. Y luego, integral puntos de Siegel módulos espacios fueron delimitadas por Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell. En resumen, uno puede incluso aplicar un tipo de ecuación para el estudio de otro (de la familia).
En cualquier caso, para esta clase, uno supone que las ecuaciones son tan interesantes como el principal problema.
Sin embargo, la perspectiva de que yo en realidad quería hablar de deja de lado la pregunta de algo. La vista es quizás la mayoría de los principales y reaccionario posible en este contexto, pero más cercano a la práctica de matemáticas como yo lo veo. Se dice que la mayoría de las ecuaciones tienen o carecen de interés no está en y de sí mismos. Más bien, el principal problema es que las preguntas que nos hacemos acerca de ellos. Les recuerdo tres ejemplos:
(i) Considerar las diversas conjeturas sobre la $L$-funciones. Dicen que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Para simplificar en exceso el caso un poco, supongo que podría probar la conjetura en completo hasta el último detalle para el single de curva elíptica
$$498208y^2=x^3+309208472x^2+1204948278x+3920984$$
o con alguna otra opción de coeficientes aleatorios como usted desea. Hay poco desacuerdo que esto sería muy interesante.
En caso de que usted piensa que curvas elípticas ya son merecedores de
especial atención, a elegir de una colección aleatoria de ecuaciones homogéneas
$$f_1=0, f_2=0, \ldots, f_n=0$$
en $m$ variables. La mayoría del tiempo, se va a definir un suave variedad proyectiva $X$. Bloch y Beilinson han conjeturado que el orden de la desaparición de $L(H^{2i-1}(X),s)$ a $s=i$ es igual al rango de la Chow grupo algebraico de los ciclos de codimension $i$ homologically equivalente a cero. Ser capaz de demostrar que la declaración de un determinado $X$ elegido al azar sería muy interesante. Por supuesto, porque uno espera que esto sea tan difícil, las personas se concentran más bien en especial $X$'s. [En caso de que usted se está preguntando acerca de su pertinencia, algebraicas en los ciclos de la $X$ debe ser justamente el pensamiento de como generalizadas de soluciones'.]
(ii) Continuando con la misma notación, supongamos $X$ pasa a ser un Fano variedad, que va a suceder con frecuencia si
los grados de los polinomios agregar algo bastante pequeño en comparación con el número de variables. En ese caso,
Manin ha conjeturado que las soluciones racionales en un número fijo de campo $F$ (dependiendo de las ecuaciones) será Zariski densa. Que es, se trata de un conjunto de ecuaciones con muy geometría simple, debido a que debe ser siempre fácil encontrar muchas, muchas soluciones, tan pronto como algunos obvios obstáculos a superar.
Una vez más, usted es libre de intentar esto después de elegir el $f_i$'s en la arbitrariedad y como estéticos de una manera
como sea posible. Como con la Beilinson-Bloch conjetura, el más aleatorio que su elección es, la más impresionante de su
el resultado será, en cierto sentido.
(iii) Cerca de mi corazón es la efectividad en la conjetura de Mordell, que pide un algoritmo para encontrar todos racional
las soluciones a una ecuación genérica
$$f(x,y)=0$$
con grado de al menos 4. Como consecuencia del hecho de que un algoritmo es desconocido, resulta de gran interés para
ser capaces lista completa de conjuntos de soluciones en cualquier caso dado. A veces, es fácil mostrar que no hay ninguno, tales como
$$x^4+y^4=-1,$$
sólo para ser absurdamente simple. Sin embargo, una vez que esas tontas razones para la trivialidad se excluyen, por ejemplo, si usted sucede a notar ya una
la solución, es muy difícil para la lista de todo el conjunto solución. Aquí es un ejemplo debido a Bjorn Poonen:
$$y^2 = x^6 - 2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 2x + 1.$$
Usted puede ver las soluciones $(0,\pm 1)$. Sin embargo, se requiere un poco de tecnología para mostrar que
$$(0,\pm 1), (-1,\pm 1), (1,\pm 3)$$
es el completo conjunto de soluciones. Usted puede ver que esta ecuación se parece bastante al azar. Por otro lado, a causa de un permanente
se centran en la difícil y estructuralmente exigentes en cuestión de un algoritmo, un ejemplo de este tipo genera un poco de interés.
Muchas personas han sugerido que la variedad de técnicas que se presentan en el ataque a un problema tan importante como el problema
sí. Hay algo de esto, en la medida en que nos gustaría que el problema que nos dicen tanto como sea posible acerca de
la matemática paisaje en general, que es, después de todo, el objetivo final de nuestra investigación. Por otro lado,
una vez determinados los generales
las preguntas ya han sido establecidos como poderoso sondas para este proceso, siendo capaz de resolver ellos para cualquier específicos
objeto es muy interesante, independientemente de lo bonito o feo que alguien puede encontrar el objeto en su propio. Obviamente, este
es la razón de ser de las buenas conjeturas.
Agregó 26 De Octubre:
Finalmente, me topé con el "cuadro de la ecuación de' la que me he referido en los comentarios. Es
$$a_1^2+a_2^2=b_3^2;$$
$$a_1^2+a_3^2=b_2^2;$$
$$a_2^2+a_3^2=b_1^2;$$
$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=c^2;$$
la definición de una superficie en $\mathbb{P}^6$. Una solución racional con $a_1a_2a_3\neq 0$ corresponde a un "racional" cuadro de tener todos los bordes, la cara de las diagonales, y la diagonal larga racional. Al parecer, la existencia de tal cosa es aún desconocido. Hay una buena discusión en este
el papel de Stoll y Testa. Por supuesto, usted tiene que decidir por ti mismo si es interesante. El sabor es algo que recuerda el congruentes número de problema, y creo que fue por eso que me llamó la atención. Es decir, dada mi propia inclinación, tuve que considerar por un minuto o dos, si hay un truco conexión a un 'conceptualmente sofisticado" problema. Stoll y Testa de relacionarse, de hecho, a la Bombieri-Lang conjetura.
