¿Cuáles son buenas formas de pensar sobre subvariedades lagrangianas?
¿Por qué debería preocuparse uno por ellas?
Más generalmente: mismas preguntas sobre las (co)isorrópicas. Respuestas desde un punto de vista de la mecánica clásica serían especialmente bienvenidas.
Quiero responder a la pregunta "¿por qué debería preocuparme por los Lagrangianos?" mostrando cómo surgen cuando intentas responder una pregunta muy natural que, en cierto sentido, está en el corazón de la mecánica clásica.
Supongamos que consideramos algún sistema físico en el que las configuraciones posibles corresponden a puntos en una variedad $M$. Dados dos puntos $p, q \in M$, una pregunta natural es preguntar, ¿hay algún momento inicial que se puede seleccionar en $p$ bajo el cual, después de 1 segundo, la configuración habrá evolucionado hacia la configuración $q$?
En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, la posición y el momento de un sistema se describen por los puntos del fibrado cotangente $T^*M$. Esto es una variedad simpléctica de una manera natural. La física del sistema se describe mediante una función hamiltoniana llamada $H \colon T^*M \to \mathbb{R}$ y la evolución del sistema se da mediante el flujo del campo vectorial hamiltoniano $X_H$ asociado a $H. Ahora podemos reformular nuestra pregunta de la siguiente manera: ¿hay un punto $x$ en $T^*_pM$ tal que el flujo de tiempo 1 de $X_H$ comenzando en $x$ se encuentre en la fibra $T^*_qM$? En otras palabras, si observo la imagen de $T^*_pM$ bajo el flujo de tiempo 1 de $X_H$, ¿interseca a $T^*_qM$?
¿Qué tiene que ver esto con los Lagrangianos? Bueno, las fibras $T^*_pM$ y $T^*_qM$ son casos especiales de subvariedades Lagrangianas. La imagen de $T^*_pM$ bajo el flujo de $X_H$ ciertamente ya no es una fibra, pero, dado que el flujo de $X_H$ preserva la forma simpléctica, la imagen de $T^*_pM$ sigue siendo una subvariedad Lagrangiana.
Desde este punto de vista, puedes pensar en una subvariedad Lagrangiana como una generalización del "conjunto de posibles momentos iniciales de un punto dado en el espacio de configuración". Además, esta generalización se te impone, incluso si solo te importa la pregunta muy natural descrita anteriormente. Finalmente, espero que esta respuesta explique no solo por qué los Lagrangianos son interesantes, sino también por qué las posibles intersecciones de diferentes Lagrangianos son interesantes.
(Crédito donde se deba el crédito: Supongo que esta imagen se remonta al menos a Arnold. La escuché en un seminario la semana pasada impartido por Fukaya. El estudio de las intersecciones de Lagrangianos se ha convertido recientemente en una gran industria, desarrollándose principalmente en las ideas pioneras de Floer.)
Todo es un submanifold lagrangiano (el credo lagrangiano de A. Weinstein...) De hecho, cada variedad es la sección cero lagrangiana de su haz cotangente ;)
Pero más en serio: el teorema del barrio tubular de Weinstein establece que cada submanifold lagrangiano en una variedad simpléctica tiene un barrio simplécticamente isomorfo a un barrio de la sección cero del haz cotangente.
Las ocurrencias de submanifolds lagrangianos son en efecto abundantes: surgen como soporte semiclásico para ciertas FIO's y también se pueden pensar como una versión semiclásica de estados en la mecánica cuántica a través de la expansión WKB. Este punto de vista está ejemplificado en el bonito librito de Bates y Weinstein.
Otra ocurrencia de coisotrópicos está en la mecánica de restricciones: En la teoría de restricciones de Dirac, un submanifold coisotrópico es lo que él llama una restricción de primera clase. Surgen muy a menudo en la mecánica geométrica con Lagrangianos degenerados, etc.
También son el punto de partida natural para la reducción: este es quizás el más moderno "credo coisotrópico" de Lu (todo es un...)
Finalmente, para hacer los aspectos de cuantización de deformación un poco más precisos: si estás buscando un submanifold $C \subseteq M$ en una variedad Poisson con producto estrellado $\star$ que permita una estructura de módulo izquierdo en $C^\infty(C)[[\hbar]]$ de manera que el orden cero de la estructura del módulo sea la multiplicación usual por la restricción, entonces puedes mostrar bastante fácilmente que $C$ tiene que ser coisotrópico. Martin Bordemann tiene un punto de vista interesante sobre cómo esto se relaciona con una teoría de cuantizar reducciones, etc. en su (¡francés!) gran preimpreso :) En particular, el ideal de anulación clásico se deforma en un ideal izquierdo para el producto estrellado (esto fue, supongo, esencialmente la sugerencia de Lu)
Sin embargo, ten en cuenta que hay otros ideales izquierdos que no son de esta forma, por ejemplo, los ideales de Gel'fand de funcionales positivos, que pueden ser mucho más pequeños.
El papel de los submanifolds lagrangianos $L$ en este contexto es que la correspondiente representación en $C^\infty(L)[[\hbar]]$ se convierte en "irreducible" de una manera significativa (conmutante trivial en los operadores locales). Sin embargo, esto solo tiene sentido en el entorno simpléctico. En una variedad Poisson verdadera, solo coisotrópico tiene sentido.
Lo siento: operadores integrales de Fourier. Esta relación entre un análisis de lc bastante duro y la geometría simpléctica se debe principalmente a Hörmander y Duistermaat, creo. Encontrarás este tipo de cosas en la Asíntótica Geométrica de Guillemin&Sternberg...
@Stefan Waldmann: Es notable que las primeras apariciones de subvariedades Lagrangianas e incluso de los operadores integrales de Fourier se pudieron encontrar en el trabajo pionero de Maslov.
Las subvariedades lagrangianas surgen naturalmente en la Mecánica Hamiltoniana, debido al teorema clásico de Arnold-Liouville. Permítanme declararlo aquí:
Teorema (Arnold-Liouville). Sea $(M, \omega, H)$ un sistema integrable de dimensión $2n$ con integrales de movimiento $f_1=H$, $f_2, \ldots, f_n$. Sea $c \in \mathbb{R}^n$ un valor regular de $f:=(f_1, \ldots, f_n)$. Entonces el nivel correspondiente $f^{-1}(c)$ es una subvariedad lagrangiana de $M.
Geométricamente, esto significa que, localmente alrededor del valor regular $c$, el mapa $f \colon M \to \mathbb{R}^n$ que recopila las integrales de movimiento es una fibración lagrangiana, es decir, es localmente trivial y las fibras son subvariedades lagrangianas.
Además, también se muestra que los componentes conectados de $f^{-1}(c)$ son de la forma $\mathbb{R}^{n-k} \times \mathbb{T}^k$, donde $0 \leq k \leq n$ y $\mathbb{T}^k$ es un toro de $k$ dimensiones. En particular, cada componente compacto debe ser un toro lagrangiano.
Para una prueba de este resultado, consulte, por ejemplo, el libro de Ana Canas Da Silva "Lectures on symplectic geometry".
Por supuesto, esto muestra que la mayoría de las subvariedades lagrangianas no son así, ya que la mayoría de ellas tienen una topología más interesante.
Las integrales de movimiento tienen en involución. El corchete de Lagrange de sus campos vectoriales hamiltonianos debe ser cero, lo que dio lugar al término "subvariedad lagrangiana" (Maslov).
@alvarezpaiva Supongo que se dice "son" en lugar de "tienen" (aunque en realidad no entiendo el significado de esto).
Las subvariedades Lagrangianas surgen de la mecánica hamiltoniana, donde tienes variables de posición y momento. La belleza de la mecánica Hamiltoniana es la simetría entre la posición y el momento. Dentro del espacio combinado de posición y momento, tienes dos foliaciones naturales, donde todas las variables de posición se mantienen fijas o todas las variables de momento se mantienen fijas. Las hojas son subvariedades Lagrangianas, y cualquier subvariedad Lagrangiana puede ser vista como una hoja de tal foliación.
Una subvariedad Lagrangiana es localmente equivalente a la sección cero de un haz cotangente.
Una forma más general de la respuesta de Francesco es que las subvariedades coisotrópicas son aquellas definidas localmente como el conjunto cero de algunas funciones de Poisson en conmutación, y las Lagrangianas son aquellas en las que el número de funciones independientes es máximo.
Sin embargo, las subvariedades Lagrangianas tienen muchas caras; por ejemplo, el gráfico de un isomorfismo de un variedad simpléctica $(M_1, \omega_1)$ a otra $(M_2, \omega_2)$ es Lagrangiana en la estructura simpléctica $-\omega_1 + \omega_2$ si y solo si el mapa es un simplectomorfismo. Este hecho ha llevado a muchos (incluido yo mismo) a pensar en las subvariedades Lagrangianas del producto de dos variedades simplécticas como una especie de "mapa generalizado" entre ellos. En esta filosofía, una subvariedad Lagrangiana dentro de cualquier variedad simpléctica sería un "punto generalizado".
Las variedades coisotrópicas también son sombras de la teoría de representación de una cuantización de deformación; cualquier representación de ese tipo debe tener el límite coisotrópico (este es esencialmente el teorema de Gabber) [quizás sea mejor decir debería tener un límite coisotrópico, según alguna definición de "debería"].
Ben, ¿Qué quieres decir con "cualquier representación debe tener límite coisotrópico"? ¿Esto significa que un módulo sobre cuantización de deformación se convierte en un módulo soportado en una subvariedad coisotrópica cuando $\epsilon \to 0$?
El último comentario que no entiendo es: hay representaciones agradables en la cuantización de deformación donde no se involucra ningún subconjunto coisotrópico. Tome por ejemplo el producto estrella de Wick en $\mathbb{C}^n$ y la delta-función en $0$. Esto es positivo y la representación GNS correspondiente produce la representación similar a Bargmann-Fock (todo OK en el contexto de series de potencias formales). Pero el punto $0$ ciertamente no es coisotrópico...
Gracias Ben. ¿Te refieres al teorema de Gabber que dice que las variedades características de los $D$-módulos son coisotrópicas o hay algún teorema más general? @Stefan Tengo que admitir que no sé mucho sobre cuantización de deformación. Sin embargo, en el caso de los $D$-módulos, la variedad característica del $D$-módulo generado por la delta función en un punto es el espacio cotangente en ese punto, por lo tanto, es ciertamente coisotrópica.
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Hola Jan, tal vez la etiqueta "Geometría de Poisson" sea apropiada también, al menos para las subvariedades coisotrópicas...