¿Cuáles son buenas maneras de pensar sobre los submanifolds lagrangianos?
¿Por qué uno debería preocuparse por ellos?
Más generalmente: las mismas preguntas sobre (co) isotrópicos. Las respuestas desde el punto de vista de la mecánica clásica serían especialmente bienvenidas.
Quiero responder a la pregunta "¿por qué debo preocuparme por la Lagrangians" mostrando cómo surgen al intentar responder a una pregunta muy natural que, en cierto sentido, se encuentra en el corazón de la mecánica clásica.
Supongamos que consideramos un sistema físico en el que las posibles configuraciones corresponden a los puntos en un colector $M$. Dados dos puntos $p, q \in M$ una pregunta natural es preguntar, ¿hay algún impulso inicial, se puede seleccionar en $p$ por debajo de lo que después de 1 segundo, la configuración se han convertido en la configuración $q$?
En la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, la posición y el impulso de un sistema es descrito por los puntos de la cotangente del paquete de $T^*M$. Este es un simpléctica colector de una manera natural. La física del sistema se describe mediante una función Hamiltoniana $H \colon T^*M \to \mathbb{R}$ y la evolución del sistema está dada por el flujo del campo vectorial Hamiltoniano $X_H$ asociado a $H$. Ahora podemos reformular nuestra pregunta de la siguiente manera: hay un punto de $x$ en $T^*_pM$ tal que el tiempo-1 flujo de $X_H$ a partir de a $x$ se encuentra en la fibra de $T^*_qM$? En otras palabras, si miro la imagen de $T^*_pM$ por debajo del tiempo-1 flujo de $X_H$, hace que se cruzan $T^*_qM$?
¿Qué tiene que ver esto con Lagrangians? Así que las fibras de $T^*_pM$ e $T^*_qM$ son casos especiales de Lagrange submanifolds. La imagen de $T^*_pM$ en el flujo de $X_H$ es ciertamente ya no es una fibra pero, puesto que el flujo de $X_H$ preserva la forma simpléctica, la imagen de $T^*_pM$ sigue siendo una de Lagrange submanifold.
Desde este punto de vista se puede pensar en un Lagrangiano submanifold como una generalización de "el conjunto de posibles inicial ímpetus de un punto dado en el espacio de configuración". Por otra parte, este gerenalisation es forzado en usted, incluso si usted sólo se preocupan por la natural pregunta descrito anteriormente. Finalmente, espero que esta respuesta no sólo explica por qué Lagrangians son interesantes, pero ¿por qué las posibles intersecciones de diferentes Lagrangians es muy interesante.
(Crédito donde el crédito es debido: supongo que esta imagen se remonta al menos a Arnold. Yo lo escuché en un seminario de la semana pasada, dado por Fukaya. El estudio de las intersecciones de Lagrangians ha convertido en una enorme industria recientemente, la construcción esencialmente en las ideas pioneras de Floer.)
Todo es un lagrangiano submanifold (A. Weinstein del lagrangiano credo...) En efecto, cada colector es el lagrangiano de cero sección de su cotangente del paquete ;)
Pero más grave: Weinstein tubulares barrio teorema establece que cada submanifold de lagrange en un simpléctica colector tiene un barrio symplectomorphic un barrio de la sección cero de la cotangente del paquete.
Las ocurrencias de lagrange submanifolds de hecho son múltiples: surgen como semiclásica de apoyo para ciertos FIO y también puede ser pensado como semiclásica de la versión de los estados en la mecánica cuántica a través de la WKB de expansión. Este punto de vista se ejemplifica mucho en el buen libro de Bates y Weinstein.
Otra ocurrencia de coisotropics está en la restricción de la mecánica: En Dirac de la teoría de las restricciones una coisotropic submanifold es lo que él llama una primera clase de restricción. Surgen muy a menudo en las geométrica de la mecánica con el degenerado Lagrangians etc.
También son el punto de partida natural para la reducción: este es quizás el más moderno "coisotropic credo" de Lu (todo lo que es una...)
Por último, para hacer la deformación de cuantización aspectos un poco más preciso: si usted está buscando un submanifold $C \subseteq M$ en un múltiple de Poisson con el producto estrella de la $\star$, lo que permite una (decir) a la izquierda de la estructura de módulo en $C^\infty(C)[[\hbar]]$ de tal manera que el orden cero de la estructura del módulo es el usual de la multiplicación por la restricción, entonces usted puede demostrar muy fácilmente que $C$ tiene que ser coisotropic. Martin Bordemann tiene un buen punto de vista de cómo esto se relaciona con una teoría de la cuantización de reduciton etc. en su (francés!) gran preprint :) En particular, el clásico de fuga ideal se deforma en una izquierda ideal para el producto estrella (este fue, supongo, esencialmente Lu sugerencia)
Tenga en cuenta sin embargo, que hay otra a la izquierda ideales no de esta forma, por ejemplo, el Gel'fand ideales de positivo funcionales, que pueden ser mucho más pequeños.
El papel de la lagrangiana submanifolds $L$ en este contexto, es que la correspondiente representación en $C^\infty(L)[[\hbar]]$ se convierte en "irreductible" de una manera significativa (trivial commutant en los operadores locales). Sin embargo, esto sólo tiene sentido en el simpléctica de los alrededores. En una verdadera Poisson colector, sólo coisotropic tiene sentido.
Lagrange submanifolds surgen naturalmente en Hamiltoniana de la Mecánica, ya que de los clásicos de Arnold-teorema de Liouville. Permítanme decir aquí:
Teorema (Arnold-Liouville). Deje $(M, \omega, H)$ ser un integrable sistema de dimensión $2n$ con las integrales de movimiento $f_1=H$, $f_2, \ldots, f_n$. Deje $c \in \mathbb{R}^n$ regular valor de $f:=(f_1, \ldots, f_n)$. A continuación, el nivel correspondiente al $f^{-1}(c)$ es una de Lagrange submanifold de $M$.
Geométricamente esto significa que, a nivel local en torno al regular el valor de $c$, el mapa de $f \colon M \to \mathbb{R}^n$ recopilación de las integrales de movimiento es una de Lagrange fibration, es decir, que es localmente trivial, y de las fibras son de Lagrange submanifolds.
Además, también se muestra que los componentes conectados de $f^{-1}(c)$ son de la forma $\mathbb{R}^{n-k} \times \mathbb{T}^k$ donde $0 \leq k \leq n$ e $\mathbb{T}^k$ es $k$-dimensiones toro. En particular, todas las compactas componente debe ser una de lagrange toro.
Para una prueba de este resultado, véase, por ejemplo, el libro de Ana Canas Da Silva "Conferencias sobre la geometría simpléctica".
Lagrange submanifolds surgen de la Hamiltoniana de la mecánica, donde tenemos la posición y el impulso de las variables. La belleza de Hamiiltonian la mecánica es la simetría entre la posición y el momentum. Dentro de la posición combinada-impulso espacio, tiene dos naturales de foliaciones, donde todas las variables de posición se mantiene fijo o todo el impulso de las variables se mantiene fijo. Las hojas son de Lagrange submanifolds, y cualquier Lagrange submanifold puede ser visto como una hoja de una foliación.
Una de Lagrange submanifold es localmente equivalente a la sección cero de la cotangente de un paquete.
Más general de la forma de Francesco la respuesta es que coisotropic submanifolds son aquellos definidos localmente como la puesta a cero de algunos de Poisson desplazamientos de las funciones, y Lagrangians son aquellos en los que el número de independientes de las funciones es máxima.
Lagrange submanifolds tiene un montón de caras a pesar de que, por ejemplo, la gráfica de un isomorfismo de un simpléctica colector $(M_1,\omega_1)$ otro $(M_2,\omega_2)$ es de Lagrange en la estructura simpléctica $-\omega_1+\omega_2$ si y sólo si el mapa es un symplectomorphism. Este hecho ha llevado a muchos (yo incluido) a pensar de Lagrange submanifolds de que el producto de dos simpléctica colectores como una especie de "generalizada mapa" entre ellos. En esta filosofía, una de Lagrange submanifold dentro de cualquier simpléctica colector sería una "generalizada punto."
Coisotropic colectores son también las sombras de la teoría de la representación de una deformación de cuantización; dicha representación debe tener coisotropic límite (esto es esencialmente Gabber del teorema) [tal vez es mejor decir debe tener coisotropic límite, para algunos definición de "debería"].
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