¿Forzando como un nuevo capítulo de la teoría de Galois?

Question

Hay una (muy) largo ensayo por Grothendieck con el ominoso título de La Longue Marche à travers la théorie de Galois (La Larga marcha a través de la Teoría de Galois). Como de costumbre, Grothendieck sabía lo que él estaba hablando acerca de: la Teoría de Galois, lejos de limitarse a su ejemplo principal, a saber, el campo de las extensiones, es un fenómeno generalizado en toda la matemática, y todavía no se entiende completamente.

Desde que escuché por primera vez de forzar a que me llamó la atención por su atractivo analogía con el campo de extensiones: el modelo de terreno (leído Q), el genérico G (leer un nuevo elemento, decir $\sqrt{2}$), el M[G] (leído Q[$\sqrt{2}$]), etc.

Cito Joel Hamkins 's palabras aquí, en su espumoso de papel en el multiverso:

En efecto, el forzar a la extensión de adherido a la "ideal" objeto G a V , de la misma manera que uno podría construir un campo de extensión, tales como Q[$\sqrt{2}$]

Por supuesto, las cosas son un poco más complicadas en la teoría de conjuntos, usted tiene que asegurarse de que la extensión satisface los axiomas, que no "moleste" los ordinales, y así sucesivamente.

Sin embargo, uno no puede pensar que la analogía se detiene aquí.

Y no: en la teoría de Galois, lo principal es el teorema central, el establecimiento de la Conexión de Galois entre los subcampos de la extensión y los subgrupos del grupo de Galois, es decir, el grupo de automorfismos de la extensión de dejar fijo el campo subyacente.

No hay conexión de Galois, no de la Teoría de Galois. Pero espera, en primer lugar tenemos el grupo. Entonces, ¿dónde está ella?

Una sugerencia es que en el gran clásico del resultado por Jech-Sochor en mostrar la independencia de CA: mediante la consideración de un grupo de automorfismos de P, el conjunto ordenado de forzar las condiciones, uno puede obtener un nuevo modelo de lo que es (esencialmente) el conjunto de puntos fijos de la inducida por automorfismos. Esto es aún más claro cuando uno lo mira desde el punto de vista de boolean valores de los modelos: cada automorphism del álgebra de boole induce un automorphism de la extensión del universo.

Ahora mi pregunta: ¿hay alguna el trabajo sistemático en la clasificación de forzar las extensiones por su grupo de Galois? Se puede desarrollar toda la maquinaria que se aplican a la relación de las extensiones?

NOTA: creo que esta no es la inactividad de la incubación: alguien, por ejemplo, ha pedido que aquí en MO acerca de la 2-categoría del multiverso. Esa es una pregunta difícil, y mi sensación es que antes de dar una respuesta satisfactoria algunos trabajos preliminares que se necesita hacer. Que trabajo? Bien, uno tiene que volver a pensar en el clásico conjunto de construcciones desde un punto de vista estructural, dejando atrás sus escabrosos detalles técnicos. Ahora, forzando a que es una gran parte del multiverso, y la comprensión de la estructura de álgebra que sustentan sería, creo, un gran paso hacia una comprensión algebraica del multiverso.

Answer 1

Sí y No... Hay fuertes paralelismos entre la coerción y simétrica de extensiones y extensiones de campo y de esta manera de pensar ha sido fructífera. Sin embargo, como en el caso de general anillo extensiones y grupo de extensiones y problemas similares, esta analogía no es perfecta y empujando la similitud demasiado lejos de la realidad puede ocultar lo que realmente está pasando.

Dicho esto, simétrica extensiones de hecho, muestran una gran similitud con la teoría de Galois. Un poco de trabajo, en particular el de Serge Grigorieff [Intermedios Submodelos y Extensiones Genéricas en la Teoría de conjuntos, en los Anales de las Matemáticas 101 (1975), 447-490] muestra que, de hecho, hay una manera de entender intermedio obligando extensiones de una manera muy similar a la forma de entender el campo de extensiones a través de la teoría de Galois. Algunos incluso han empujado a esta analogía tan lejos como para el estudio de algunos problemas análoga a la Inversa Galois Problema en este contexto, por ejemplo [Groszek y Lavamanos, grupos Finitos de OD-conjugados, Período. De matemáticas. Hungar. 18 (1987), 87-97].

Hay algunos muy algebraicas formas de entender la coerción y simétrica de los modelos en un sentido más global. Por ejemplo, obligando a las extensiones corresponden en una bien entendida a la categoría de completar álgebras Booleanas bajo completo incrustaciones. Por otra parte, la automorphism grupos de estas álgebras juega un papel crucial en nuestra comprensión de la interna de la estructura del modelo de forzar a las extensiones. Aún más alcance enfoque proviene de la transposición de la gavilla construcciones de topos de la teoría en el conjunto de la teoría de contexto [Blass y Scedrov, Freyd modelos para la independencia del axioma de elección, Mem. Amer. De matemáticas. Soc. 79 (1989), no. 404]. Uno podría argumentar que esto sugiere una fuerte analogía con topología en lugar de álgebra, pero hay un montón de muy profundas analogías entre la teoría de Galois y la topología.

El de arriba no es un estudio completo de estos tipos de conexiones, es solo para demostrar que las conexiones que existen y que se han mirado, y útil para un largo tiempo. Debido a la relativa dispersión de la literatura, se podría argumentar que estos aspectos son subdesarrollados, pero el que se apresura juicio. La verdad es que parece que hay muy pocos aspectos prácticos para este tipo de enfoque, tal vez porque no son relevantes para la mayoría de las cuestiones actuales de la teoría de conjuntos o tal vez por razones más profundas. Por ejemplo, el interior de la estructura del modelo de la primera (y ampliamente considerado como el más sencillo) forzando la extensión, es decir, la simple Cohen extensión, es muy rica y compleja [Abraham y de la Costa, Los grados de constructibility de Cohen reales, Proc. Londres Matemáticas. Soc. 53 (1986), 193-208] y no parece ser un razonable nivel superior enfoque que nos puede ayudar a ordenar a través de este atolladero de una manera similar a la teoría de Galois nos puede ayudar a ordenar a través de la compleja estructura de $\overline{\mathbb{Q}}$.

Answer 2

A mí me parece que los grupos involucrados en la producción de modelos sin AC (ya sea como grupos de permutaciones de los átomos o como grupos de automorfismos de completar álgebras Booleanas) y el forzamiento de las construcciones en sí, son dos en lugar de separar las cosas. El uso más frecuente de forzar a que es la producción de modelos de ZFC (no sólo ZF) y, a continuación, los grupos no están involucrados. Por otro lado, la Fraenkel-Mostowski-Specker método de permutación modelos para la negación de CA sólo implica la permutación de los grupos (y los filtros normales de subgrupos), no obliga. Grupos y obligando a venir juntos en Cohen método de simétrica modelos. En el original (y aún más común) presentación, uno tiene un grupo que actúa en el forzamiento de la noción. Pero incluso en este caso, los grupos y el forzamiento son menos enredado de lo que parecen. Vopenka y Hajek mostró (en su libro "Teoría de la Semisets") cómo llegar Cohen-estilo de los modelos (1) a partir de una permutación modelo, (2) obligando sobre él, y (3) que pasa a la pura (o bien fundado) de la parte. En esta presentación, los grupos (y los filtros de los subgrupos son sólo en el paso (1), y el forzamiento es sólo en el paso (2).

A mí me parece que, si uno quiere analizar forzando a partir de una expresión algebraica punto de vista, uno debe empezar con el caso más simple, donde no hay simetrías están involucrados. El algebraicas lado de esto es el estudio de completar álgebras Booleanas. Después, uno puede embellecer la imagen mediante la adición de acciones del grupo, ya sea que actúen en el álgebras Booleanas o a la producción de permutación de los modelos sobre los que a la fuerza. El Grigorieff papel que Francois citado es un excelente lugar para comenzar.

A pesar de que el OP se le preguntó acerca forzar, permítanme mencionar también que el no forzar el contexto de la permutación de los modelos podría ser un mejor lugar para buscar Galois-como fenómenos. Para empezar, tenga en cuenta que un filtro normal de $\mathcal F$ de los subgrupos de un grupo de $G$ hace $G$ un grupo topológico, en el que $\mathcal F$ genera el barrio de filtro en la identidad. La noción de simetría con respecto a $\mathcal F$ que se utiliza en la definición de la permutación modelo es sólo la continuidad de las acciones estándar de $G$ sobre los conjuntos.

Answer 3

Sólo un menor comentario sobre la posibilidad de clasificaciones:

La teoría de Galois puede comenzar por el examen de finito de grados de extensiones algebraicas cuyo grupo de Galois es finito y se entiende bien. Más tarde, usted puede considerar la posibilidad de más y más grupos, pero estos son menos conocidos que los de antes.

Con obligando a menudo comienzan con "a nivel local innumerables" grupos (lea: uncountability en el modelo de terreno). Añadimos a la mezcla el hecho de que haya un nuevo automorfismos en la extensión genérica (y a menudo lo son), esto no es una buena idea.

Hay, sin embargo, algo que se dijo seguro. Hace poco hablé sobre esto con un amigo que (como a mí) pasa la mayor parte de su tiempo en su interior, una modelo sin elección. Estamos de acuerdo en que probablemente hay algo de Galois-como decir en el estabilizador de grupos de todos los $P$-nombre. Si es o no es profunda, no hemos tenido la oportunidad de investigar más a fondo.

Por último, me gustaría añadir que la analogía de la teoría de campo y obligando sólo puede ir tan lejos. La clausura algebraica es único (asumiendo suficiente elección, al menos), mientras que las extensiones genéricas de la misma forzando la necesidad de no ser isomorfos.