¿Hay una razón intuitiva para el teorema principal de Zariski?

Question

Zariski principal del teorema tiene muchas formas, y para que yo le dé la libertad para elegir la que considere más intuitiva. En aras de la exhaustividad, voy a poner aquí una versión:

Zariski principal del teorema: Vamos a $f:X\rightarrow Y$ ser un cuasi-finito separados birational mapa de variedades, donde $Y$ es normal. A continuación, $f$ es una inmersión.

No hay ninguna razón para escoger este particular de la formulación. De hecho, cada formulación me parece una técnica lema en lugar de un teorema con geométricamente intuitiva contenido.

Pregunta

Hay una formulación de Zariski principal del teorema que cuenta con una intuitiva/pictórica `razón" para él? O es Zariski principal del teorema en su núcleo un resultado técnico, sin geométrica de razón?

Answer 1

Hay muchas fórmulas de Zariski principal del teorema, y Mumford Libro Rojo le da un muy buena descripción de algunos de ellos, y de sus interrelaciones.

Vale la pena recordar que fue en el hecho de Zariski que demostró por primera vez una versión de su principal teorema. Zariski fue un aparejador primer lugar (a pesar de que él fue también uno de los más grande de la historia conmutativa algebraists), y por lo que es razonable buscar el geométricos contenidos en este resultado.

De hecho Zariski demostró por primera vez su principal teorema antes de que él desarrolló su teoría de las funciones formales (que era su método para probar la conectividad teoremas, y en su moderno cohomlogical reformulación por Grothendieck sigue siendo el método básico para probar la conectividad de las declaraciones, como en el caso de Francesco Polizzi la respuesta). Zariski de la versión original de su teorema declaró que si la preimagen de un punto normal, en una variedad bajo un birational mapa contiene un punto aislado, entonces el birational mapa es en realidad un isomorfismo en un n.h. de ese punto.

Como Mumford, explica, lo que este resultado y las posteriores variaciones que tienen en común es que una variedad es unibranch en un punto normal, es decir no es sólo una rama de la variedad que pasa a través de de ese punto. Por lo tanto, si colocamos la variedad en cierta manera, podríamos ser capaces de aumentar la dimensión en este punto (en el sentido de que podríamos ser capaces de reemplazar a $y$ por algo de dimensiones superiores), pero no podemos romper la variedad de distancia de allí.

Grothendieck la formulación es muy natural: indica que tenemos un cuasi-finito de morfismos, siempre podemos compactify es (compactification debe entenderse en un sentido relativo) a un número finito de morfismos. Para ver cómo esto implica Zariski del resultado original, basta observar que si $f:X \to Y$ es birational con $Y$ normal, y $x$ es un punto aislado de $f^{-1}(y)$, podemos optar por una n.h. $U$ de % de $x$ más que $f$ es cuasi-finito, que luego compactifies a un número finito de morfismos. Pero desde $Y$ es normal, cualquier finito birational mapa a $Y$ debe ser un isomorfismo, y por lo $U$ debe ser de incrustación en $Y$ a través de una inmersión. En resumen, $f$ es un isomorfismo entre un n.h. de $x$ y un n.h. de $y$.

Answer 2

La lectura de estos excelentes respuestas me hizo darme cuenta de que no entendía la ZMT en una forma intuitiva, y me ayudó mucho a conseguir, al menos, más de la intuición que tuve. Quiero tratar de resumir lo que he aprendido de pensar en las respuestas aquí, en una forma que no es demasiado técnico y esperemos que intuitiva. Yo no considerar las pruebas, pero sólo la intuición contenida en las declaraciones.

El primer paso es, necesariamente, un poco de técnica, ya que implica la definición de normalidad.

1) Si X es normal que un ser afín a la variedad, es decir, si su afín anillo no tiene no trivial de módulo de extensión finita dentro de su cociente de campo, se deduce de esta definición, que X no acepta no trivial finito birational de morfismos. Por lo tanto X es normal si y sólo si cada finito birational de morfismos Y→X es un isomorfismo.

2) ZMT, a continuación, implica que cada una de tales normal variedad es unibranch. I. e. si X tiene más de una sucursal en cualquier punto, entonces X debe aceptar un no trivial finito birational mapa Y→X. La intuición geométrica aquí es que debe ser posible, por un número finito de morfismos, para separar las ramas de cualquier variedad que no es unibranch. Esto puede haber sido sugerido para Zariski por ejemplos como el de la proyección, citado por Francesco. Por lo tanto ZMT establece que el único camino para una variedad de poseer más de una rama es de que sea el objetivo de un mapa similar a una "proyección". (Mumford bueno topológico y el poder de la serie de declaraciones son sólo formas alternativas de decir "unibranch".)

3) Como Sandor señaló, a continuación, la conexión teorema que sigue, naturalmente, para un normal de la variedad X, ya que si Y→X fuera finita, birational, y un poco de fibra f^(-1)(p) fueron desconectados, entonces X debe tener al menos dos ramas en p, por lo tanto, X no debe ser normal.

4) El siguiente pedazo natural de la intuición es del teorema de Grothendieck que todos los cuasi-finito morfismos puede ser completado a lo finito, como Matt y Akhil observar. Por lo tanto la única manera de conseguir un cuasi - finito de morfismos es restringir un número finito de morfismos a un conjunto abierto, muy intuitiva, geométrica declaración. En particular, dado que no son, por definición, no - trivial finito birational morfismos a X, no puede ser no trivial cuasi - finito birational más; es decir, cada una de estas morfismos Y→X es un abierto de inmersión.

5) Como consecuencia de ello, un birational de morfismos Y→X lo cual no es trivial, es decir, no un abierto de inmersión, no puede ser cuasi – finito, por lo tanto debe tener un positivo dimensiones de la fibra f^(-1)(p).

Así que para mí al menos, estas diversas declaraciones se han convertido en geométricamente natural, gracias a la contemplación de las otras respuestas, es cierto que en un ingenuo.

Answer 3

Creo que Grothendieck la prueba de la ZMT (EGA IV-8), el cual me parece fantástico-es en sí una gran fuente de la intuición, al menos cuando se presentó en el contorno. (Aquí me refiero a la que un cuasi-finito separados mapa de factores como abierto, de inmersión y de un número finito de morfismos.)

He aquí la estrategia: digamos que usted desea mostrar primero que $f: X\to Y$, un cuasi-finito separados mapa, entre niza (por ejemplo, noetherian) esquemas (o finito presentación de otra manera) es cuasi-proyectiva (o incluso cuasi-affine). Este es el paso básico, después de que la versión de la ZMT en Hartshorne y un poco más de trabajo te da todo el resultado (ver, por ejemplo, EGA III.IV para esto).

OK, así que esto no parece evidente: usted tiene un mapa de los esquemas que podría ser muy patológico, pero todavía estás afirmando que $X$ puede ser "compactified" a un proyectiva $Y$-esquema. Para ver esto, necesitamos tener una amplia línea de paquete en la $X$; la demanda es que $\mathcal{O}_X$ obras, que a su vez es decir que $X$ es cuasi-afín. ¿Cómo podemos ver esto? Trabajamos localmente en $Y$. Esto es parte de una idea simple desarrollado en longitud por Grothendieck para mostrar que un cierto locales a la propiedad es verdadera para un mapa de $f: X \to Y$, sólo se puede comprobar en todos los locales de los anillos después de la base de cambio (y es en sí mismo una propiedad de la "noetherian descenso" formalismo: si una propiedad es verdadera en un apropiado límite inversa, es baja (o sube?) de ser verdad en algunos finito etapa).

Por lo tanto se reduce al caso en que $Y$ es local. La siguiente idea es hacer $Y$ completa locales---esto es una consecuencia de la fidelidad plana descenso. El punto es, no es difícil mostrar que nada cuasi-finito a través de una completa anillo local es la suma de un número finito de morfismos más algo más pequeño. Así, el resultado de $Y$ completa locales y de la $X$ finita sobre el punto de cierre es fácil de álgebra conmutativa. El resto de $Y$ sigue por noetherian de inducción.

En otras palabras, el punto es reducir a) reducir, para el caso de $Y$ local, por noetherian descenso b) reducir, para el caso de $Y$ local completo, por fielmente plano de descenso, y c) el uso de un ingenioso inductivo truco basado en la perforación de $Y$ (que es muy geométrico---punción $Y$ en el punto de cierre no es algo que usted puede hacer puramente algebraica!). Así, tal vez la intuición de que esto es algo que es cierto en todo el local anillos tiene una buena oportunidad de ser cierto en general. Me temo que este no es geométrica, tal vez de una manera de decir es que si algo es verdadero analíticamente localmente, entonces tiene una buena oportunidad de ser cierto algebraicamente a nivel local.

(La prueba de la plena fuerza de la ZMT en EGA IV-8 es, creo, el mismo tipo de idea, aunque añadió con algo de uso de más de álgebra conmutativa -- propiedades de excelente anillos.)

Otra ilustración de esta técnica de reducción para completar local de los anillos (y de inducción) es en SGA yo, exponer IX, Teorema 4.7: finito surjective morfismos de finito de presentación son morfismos de efectivo descenso por el etale sitio. En exponga VIII, sec. 6 el argumento de arriba de la mitad de la ZMT es dado (en un mucho más de forma abreviada de la que aparece en la EGA).

Answer 4

Esta es una hermosa pregunta, y no sé si se puede dar una respuesta satisfactoria.

De todos modos, déjame que intente decir algo.

Mi favorito versión de Zariski Principal es el Teorema de la dada en Hartshorne: Vamos a $f \colon X \to Y$ ser un birational proyectiva de morfismos de noetherian integral de los esquemas, con $Y$ normal. A continuación, la fibra de $f^{-1}(y)$ está conectado por cualquier $y \in Y$.

El hecho de que la normalidad es necesario puede ser fácilmente comprendidos por medio del siguiente ejemplo: tomar una del Pezzo quintic superficie en $X \subset \mathbb{P}^5$ y del proyecto desde un punto general a $\mathbb{P}^4$. Es posible demostrar que la superficie de la imagen $X' \subset \mathbb{P}^4$ tiene exactamente un punto singular, que es un no-normal de doble punto, y que aparece ya existe exactamente una línea de $\ell$ en $\mathbb{P}^5$ que se cruzan $X$ a más de un punto. De hecho, $\ell \cap X$ contiene exactamente dos puntos, por lo que la preimagen del punto singular de $X'$ a través de la birational mapa de $\pi \colon X \to X'$ se compone de estos dos puntos, en particular es no conectado.

Si $Y$ es normal, Zariski principal teorema dice que situaciones como esta no puede ocurrir: cualquier fibra de un birational mapa es exactamente un punto, o es un conectada variedad de dimensión $\geq 1$.

¿Por qué la normalidad es la condición clave? Bueno, la razón es que si $Y$ es normal y $f \colon X \to Y$ es birational, a continuación,$f_* \mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$. Sigo Hartshorne de nuevo: suponga $Y$ afín, es decir,$Y=\textrm{Spec}(A)$. A continuación, $f_* \mathcal{O}_X$ es coherente gavilla de $\mathcal{O}_Y$-álgebras, por lo tanto $B=\Gamma(Y, f_* \mathcal{O}_X)$ es un finitely generadas $A$-módulo. Pero $A$ e $B$ son parte integrante de los dominios con el mismo cociente de campo (birationality de $f$) y $A$ es integralmente cerrado (normalidad de $Y$) por lo tanto debemos tener $A=B$ y hemos terminado.

Esto es realmente fácil. Por supuesto, me engañó un poco porque he usado una gran arma:

$f_* \mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ implica "conectado fibras".

La prueba de esta instrucción utiliza, de hecho, la profunda Teorema de las Funciones Formales. En cualquier caso, espero que esta respuesta arroja al menos algo de luz sobre el significado geométrico de Zariski Principal Teorema.

Answer 5

Mi versión favorita de la ZMT es el mismo de Francesco: Deje $f \colon X \to Y$ ser un birational proyectiva de morfismos de noetherian integral de los esquemas, con $Y$ normal. A continuación, la fibra de $f^{-1}(y)$ está conectado por cualquier $y \in Y$.

Permítanme dar un peatón ingenuo${}^1$ respuesta:

Si $f^{-1}(y)$ no está conectado, a continuación, $f$ "colas" de dos o más piezas. En particular, y esta es la clave, se deduce que el punto de la imagen no es unibranched o en otras palabras, su tangente de cono es no irreductible. Por lo tanto, un local de la ecuación de $Y$ sería algo como $$uv+ p=0,$$ where $p$ has a higher degree (in whatever sense locally at the point in question) than $de los rayos uv$. Ahora, por simplicidad, suponga que $p$ es un polinomio de $u,v$. Esto no es totalmente cierto, pero yo no estoy reclamando a probar ZMT aquí. Al menos esto es cierto para un nodal cúbicos.

De todos modos, una vez que tengamos eso, estamos tipo de hecho: si $uv + p(u,v)=0$, divida por $av^{d+N}$ donde $av^du^N$ es el más alto grado plazo de $p$ en $u$, y obtener un monic polinomio de grado $N$ en $\dfrac uv$.

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${}^1$: peatonal ingenuo = heurística, no tratando de ser preciso