¿Todavía necesitamos categorías de modelos?

Question

Un moderno punto de VISTA sobre el modelo de categorías es que son presentaciones de $(\infty, 1)$-categorías (es decir, dado un modelo de la categoría, se puede obtener un $\infty$-categoría de la localización en la categoría de la debilidad de equivalencias; mejor, si usted tiene un simplicial modelo de la categoría, es tomar la homotopy coherente de los nervios de la fibrant-cofibrant objetos).

¿Qué otras funciones, a continuación, hacer categorías de modelo servir hoy? Entiendo que llegar a la teoría de la $\infty$-categorías del suelo (como en la HTT, por ejemplo) requiere un aumento significativo de la utilización de una gran cantidad de estructuras de modelo. Sin embargo, si asumimos que existe un buen modelo de $(\infty, 1)$-categorías que satisface las propiedades que queremos (por ejemplo, que la asignación de los conjuntos son reemplazados con la asignación de espacios, límites y colimits están determinados por homotopy límites de los espacios), cómo son categorías de modelo de utilidad?

Supongo que un ejemplo sería la computación hom-plazas: una categoría de modelos simplicial le da una buena manera de encontrar la asignación de espacio entre dos objetos en la correspondiente localización. Sin embargo, en la práctica, sólo se considera cofibrant o fibrant objetos en el $\infty$-categoría en el primer lugar, como en Lurie la construcción de la que se derivan $\infty$-categoría (básicamente, se considera la categoría de proyectivos complejos -- para la delimitada por encima caso, de todos modos, y hace que en un simplicial categoría y, a continuación, toma la homotopy coherente de los nervios).

Un ejemplo de que tener un modelo de estructura se parece a comprar algo es el teorema que $E_\infty$ anillo de espectros pueden ser modelados por 1-categórica álgebras conmutativas en un caso de monoidal modelo de la categoría de los espectros (en DAG 2 no es un resultado general para este efecto), y que puede arreglar las cosas para evitar la coherencia homotopies. Realmente no sé nada acerca de $E_\infty$-anillo de espectros, pero no estoy seguro de cuán útil es cuando uno tiene una buena teoría de monoidal objetos en $\infty$-categorías.

Answer 1

Me encuentro con algunos de este intercambio verdaderamente deprimente. No es un tema de `valientes nueva álgebra"y hay infinidad de pasado y presente de las construcciones y los cálculos que depende de concreto y construcciones específicas. La gente que en realidad calcular nada no use $(\infty,1)$ categorías a la hora de hacerlo. Establecer un reto, que sería de poco o ningún uso. A veces se puede utilizar $(\infty,1)$ categorías a construir cosas que no son de fácil construcción de otra manera, y entonces uno puede calcular cosas acerca de ellos (por ejemplo, el trabajo de Behrens y Lawson). Pero las herramientas de cálculo no $(\infty,1)$ categórica, y a menudo ni siquiera modelo categórico. La gente debe aprender algunos graves cálculos, hacer un poco de sí, totalmente antes de sumergirse en la teoría formal. Tenga en cuenta que $(\infty,1)$ categorías son, en principio, un intermedio entre el punto de nivel y el homotopy nivel de categoría. Es fácil de traducir en $(\infty,1)$ categorías desde el punto de nivel, ya sea a partir de categorías de modelo o de algo más débil. A continuación, se puede trabajar en $(\infty,1)$ categorías. Pero el traducción de regreso a la "vieja usanza" mundo de que algunos escritores parecen imaginar prescindibles tierras en homotopy categorías. Eso está bien si eso es todo que uno necesita, pero a menudo se necesita una buena oferta de más. Uno debe ser ecléctico. Sólo un hombre de edad de la vista.

Answer 2

Aquí hay unas analogías:

• Modelo: Categoría: $(\infty, 1)$categoría
• Base :: espacio Vectorial
• Coordenadas locales :: Colector de

Me gusta especialmente la última. Cuando usted hace, dice, la geometría diferencial en una coordenada libre de manera que a menudo terminan con más conceptual, más limpia y más hermosa de las pruebas. Pero a veces sólo tienes que enrollar sus mangas, conseguir sus manos sucias, y calcular en coordenadas locales. A veces, los diferentes coordenadas locales son útiles para diferentes cálculos.

Un moderno punto de vista es que Quillen categorías de Modelo son las coordenadas locales de un homotopy teoría (es decir, presentable $(\infty,1)$-categoría c.f. este MO respuesta). Cuando usted puede calcular sin la elección de coordenadas local (un modelo de la estructura de categorías), que es genial. Pero a veces puede ser muy útil (tal vez incluso necesario) para escoger un Modelo de estructura para realizar un determinado cálculo. A veces es útil para saltar entre las diferentes estructuras de modelos que describen el mismo subyacente $(\infty,1)$-categoría.

Modelo de estructuras son todavía muy útil, incluso indispensable de la teoría general. Pero son una herramienta, al igual que las coordenadas locales en la geometría diferencial.

Answer 3

Una característica interesante de categorías de modelo es que se puede hablar también de la no-bifibrant objetos (que no es ya posible, una vez que pasa a la correspondiente infinito categoría). Un par de ejemplos donde esto es útil:

• Simplicial conjuntos: no-Kan simplicial conjuntos aparecen una y otra vez. Por ejemplo, el n-simplex sí mismo.
• Espectros: en la mayoría de los modelos para los espectros de todos los fibrant objetos se $\Omega$-espectros. A menudo se quiere considerar la posibilidad de no$\Omega$-espectros como Thom espectros o suspensión de los espectros.
• Diagrama de categorías: El proceso de sustitución de un mapa (por ejemplo, entre espacios topológicos) por un fibration puede ser visto como un fibrant de reemplazo en la flecha de la categoría.
• Los complejos de la cadena: no todos los módulos son proyectivos...

Para la demostración de teoremas abstractos, el marco de $\infty$-categorías parece ser, en muchos sentidos, muy conveniente. Pero el modelo de categorías son (en mi opinión) a menudo más agradable si usted quiere tratar con ejemplos concretos (que a menudo no son bifibrant) y quiero ver cómo calcular la derivada de functors de ellos. También, modelos concretos de espectros (como simétrica espectros) donde $E_\infty$-anillos se modelan mediante estrictamente conmutativa monoids son realmente bonitas para escribir ejemplos concretos.

Answer 4

Yo confieso que para ser confundido por todo esto $(\infty,1)$ categoría de negocio, y la forma en que $\Pi X$ es utilizado como otro nombre para el singular conjunto simplicial de $X$. Esto está relacionado con la pregunta de Pedro en sus cálculos.

Pensé que una razón para pasar de bucles o rutas de acceso a los grupos o fundamental groupoids, es decir, tomando homotopy clases, era que uno podía hacer cálculos específicos en grupos, y también groupoids. Así que me inició en la década de 1960 a buscar de dimensiones superiores a las versiones de estos groupoid métodos, nuevo, con el objetivo, o la esperanza, de dimensiones superiores nonabelian cálculos. Por supuesto que eran bien conscientes de todas las leyes en los caminos, o en singular simplices, hasta homotopies, por ejemplo, Kan extensión de las condiciones, pero parece que es difícil conseguir computacional de la información directamente en la ruta de acceso o espacio singular nivel de complejidad.

Lo que es sorprendente, y tomó un largo tiempo para que se de cuenta, era que podíamos hacer estas dimensiones superiores estricto groupoid métodos, el uso de ciertos homotopy clases, por cierto estructurado espacios, especialmente filtrada espacios (11 años), y más tarde $n$-cubos de espacios (Loday) (17 años). En el filtrado de trabajo del espacio, las ideas de modelo de la teoría también han demostrado ser muy útil, creo que aún no han sido utilizados en la $n$-cubo de la situación. Grothendieck fue sorprendido cuando le dije que en 1985 (6?) que $n$veces groupoids modelo homotopy $n$-tipos (Loday del teorema). Ya podemos utilizar esta idea para determinados nonabelian colimit cálculos en homotopy la teoría con la ayuda de un Mayor van Kampen tipo de teorema, estoy feliz como un hombre viejo al descanso con el uso de estricta múltiples groupoids de diversos tipos adecuado para el problema en cuestión. Por supuesto, en las pruebas, las relaciones entre los débiles (los espacios de mapas) situación y la estricta es crucial.

Veo que estas ideas como otra contribución a la del kit de herramientas de topología algebraica, y algunas personas más jóvenes están usando.

Parece útil, pero no es obligatorio, la prueba de una teoría a preguntar si se puede en algunos casos, producir algunos de los números que previamente no estaban disponibles.

25 de febrero de 2015 Aquí hay un enlace a una charla en Galway, diciembre, 2014, de dar más de fondo a esta respuesta, particularmente en relación a la historia de la topología algebraica.

El 8 de noviembre de 2015: Aquí está una de junio de 2015, presentación en

Una filosofía de la modelización y computación homotopy tipos,

que da el fondo a utilizar, para determinados cálculos, algunos algebraicas modelos de homotopy tipos en la forma de estricta mayor groupoids. Es la rigurosidad que conduce a la precisa colimit cálculos en homotopy teoría, la generalización de los bien entendidos por los grupos. Una construcción de estas ideas han dado lugar a un nonabelian producto tensor de grupos, cuyo actual bibliografía 138 artículos, principalmente por el grupo de teóricos.

21 de enero de 2017 Partes de las mencionadas presentaciones se han ampliado en este documento; también se analiza el aumento en el uso de cubículos conjuntos con las conexiones, que han sido poco utilizado hasta ahora en las teorías tales como cuasi categorías, pero que en algunas zonas tienen ventajas sobre simplicial conjuntos.