¿Ejemplos de problemas aparentemente elementales que son difíciles de resolver?

Question

Estoy buscando una lista de problemas que

a) cualquier estudiante que tomó multivariable de cálculo y álgebra lineal puede entender las instrucciones, (Edit: la definición de la comprensión de aquí es que se puede verificar un par de pequeños casos por ellos mismos )

b) pero todavía están abiertos o muy difícil (dicen que tomaron al menos 5 años a resolver),

Edit: c) y propuso por primera vez en el siglo 20 o más tarde.

Edit : mi motivación es animar a los estudiantes a adicto a la resolución de problemas matemáticos.

Sé que hay muchos problemas en la teoría de números y combinatoria, por ejemplo trivial, último teorema de Fermat. Voy a estar más interesados en otros campos, pero menos famoso de los problemas en la teoría de números o combinatoria también sería bienvenido. Por ejemplo,

1) El $n!$ conjetura puede ser declarada en los niveles de primaria idioma, pero había sido muy duro. Véase la sección 2.2 en Haiman el papel http://arxiv.org/abs/math.AG/0010246 .

2) Deje $r$ ser cualquier número entero positivo, y deje $x_1, x_2$ ser indeterminates. Considerar la secuencia de $\{x_n\}$ definido por la relación recursiva $$x_{n+1} =(x_n^r +1)/x_{n-1}$$ para cualquier entero n. Demostrar que $x_n$ es de la forma $P/Q$ donde $P$ es un polinomio de $x_1$ e $x_2$ con un valor no negativo de los coeficientes, y Q es un monomio. Este problema apareció como un caso especial de una conjetura por el Fomin y Zelevinsky en el contexto de clúster de álgebras de alrededor de 2001. Se demostró $x_n$ puede ser escrito como $\frac{(\text{polynomial})}{(\text{monomial})}$. Pruebas de positividad se obtuvo recientemente por Nakajima ( http://arxiv.org/abs/0905.0002 ) y Qin ( http://arxiv.org/abs/1004.4171 ).

3) Nagata conjetura : Vamos a $r$ ser un entero positivo $\geq 10$, pero no un cuadrado. Considere la posibilidad de $r$ puntos al azar en el plano de la $R^2$. Deje $m$ ser cualquier número positivo. Demostrar que los grados de las curvas planas que pasa a través de cada una de las $r$ puntos por lo menos $m$ veces son mayores que las de $m\sqrt{r}$. Consulte "Masayoshi Nagata, En la 14 ª problema de Hilbert. Amer. J. Math. 81 (1959) 766-772". Esto es todavía muy abierta.

Voy a estar agradecido por más ejemplos.

Answer 1

Singmaster de la conjetura. Cualquier de 15 años de edad pueden entender lo que dice. Singmaster escribió que Paul Erdős le dijo que probablemente sea verdad, pero probablemente muy difícil de probar.

Se dice que hay un número finito de límite superior en el número de veces que un número distinto de 1 aparece en el triángulo de Pascal. Para todos nadie sabe a ciencia cierta, el límite superior podría ser de 8. Y sólo un número, es conocido que aparecen muchas veces: $$ \binom{3003}{1}=\binom{78}{2}=\binom{15}{5}=\binom{14}{6}. $$ Se sabe que una infinidad de los números aparecen 6 veces; infinitamente muchos aparecen 4 veces, infinidad de aparecer 3 veces, y una infinidad de aparecer 2 veces. (Y sólo uno aparece sólo una vez.)

Si cualquier número aparece un número impar de veces donde el número impar es más que 3 es desconocido.

Answer 2

Es la secuencia de las fracciones de $(3/2)^n$ denso en $[0,1]$?

Este problema tiene una completamente elemental de instrucción, sin embargo, nadie tiene idea de cómo demostrarlo.

Es sabido que casi todos los $t$, $t (3/2)^n \bmod 1$ es equidistributed en $[0,1]$ (esto se deduce de una forma mucho más general resultado de Weyl), y también que para casi todos los $\beta>1$, la secuencia de $\beta^n\bmod 1$ es equidistributed en $[0,1]$ (Esto fue demostrado por Koksma en los años 30).

Se desprende también de los resultados de Pisot que $(3/2)^n \bmod 1$ tiene infinidad de acumulación de puntos.

Esta pregunta es algo relacionado con la pregunta (ya se mencionó en la respuesta) de si los famosos números irracionales son normales, pero en un sentido más elemental y frustrante porque es sólo acerca de la multiplicación/división $2$ e $3$!

Answer 3

Aquí están los cinco problemas que te pueden gustar:

(1) hay 44 vectores unitarios en $\mathbb{R}^5$ donde el producto escalar entre cada par es menor que $\frac{1}{2}$?

Originalmente yo vi esta formulación en este MO post. Es abierto, y en relación con los besos número en 5 dimensiones.

(2) Una Matriz de Hadamard es una matriz cuadrada cuyas entradas se $\pm1$, y en cuyas filas son mutuamente ortogonales. Demostrar que existe una Matriz de Hadamard de tamaño $4k$ por cada $k\geq 1$.

Esto se conoce como la Hadamard Conjetura. Mientras que fue considerado por Hadamard en el siglo 19, que sigue abierto a día de hoy.

(3) habida cuenta de $n$ puntos distintos en el plano, ¿cuál es el número mínimo de distintas distancias entre los puntos?

Este es un famoso problema de Erdos, y aunque no ha sido completamente resuelto, cerca de un óptimo obligado pertenece a Guth y Katz. (Ver Terence Tao de la entrada del blog)

(4) Demostrar que $$\sigma(n)\leq H_n +e^{H_n}\log H_n$$ where $\sigma(n)$ is the sum of divisors function and $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$ is the $n^{th}$ número Armónico.

Este problema es equivalente a la Hipótesis de Riemann. Esta reformulación fue realizado por Jeffrey Lagarias. (Desde la reformulación era más reciente, creo que no califica para esta lista)

(5) Si $\alpha\neq 0,1$ es algebraica, y $\beta$ es irracional algebraico, se $\alpha^\beta$ ser trascendental?

Este es el bien conocido de Hilbert 7 de Problema. Esto fue resuelto por Gelfond y Schneider en 1934. Relacionado a esto, no es la famosa historia de Hilbert a dar una conferencia en 1919, donde dijo que él podría ver la prueba de la hipótesis de Riemann en su tiempo de vida, que el más joven de los miembros de la audiencia pueden vivir para ver el Ultimo Teorema de Fermat demostró, pero ninguno de los presentes en la sala viviría para ver una prueba de la trascendencia de $2^{\sqrt{2}}$. Por supuesto, exactamente lo contrario que sucedió.

Answer 4

Este es otro donde es difícil establecer un límite inferior, debido a que no mucho trabajo por haber sido hecho en esto, es un estado abierto desde al menos la década de 1980, posiblemente de la década de 1950, pero se trata de un bonito problema aislado. Sin embargo, creo que podemos decir que es probablemente difícil debido a que la prueba iba a establecer mejores cotas inferiores a las brechas entre los poderes de $2$ y los poderes de $3$. (O eso creo que me han dicho, me temo que me voy de memoria aquí.)

Vamos a dejar que $\|n\|$ denotar el número más pequeño de 1 se necesita para escribir n el uso de una combinación arbitraria de la adición y la multiplicación. Por ejemplo, $\|11\|=8$, debido a $11=(1+1)(1+1+1+1+1)+1$, y no hay ningún camino más corto. Esta es la secuencia de A005245.

Entonces podemos preguntar: Para $n>0$ es $\|2^n\|=2n$? Ya se sabe que para $m>0$, $\|3^m\|=3m$, podemos pedir más general: Para n, m no ambos cero, es $\|2^n 3^m\|=2n+3m$? El intento de lanzar en potencias de 5 no de trabajo; $\|5\|=5$, pero $\|5^6\|=29<30$. (Posiblemente se podría sostener que el $\|a^n\|=n\|a\|$ para algunos aún más opciones de una, pero yo no veo ninguna razón para que esos deberían ser más fácil, aunque supongo que se podría carecer de la misma el límite inferior de la dureza.)

Jānis Iraids ha comprobado por ordenador que esto es cierto para $2^n 3^m\le 10^{12}$ (en particular, para $2^n$ con $n\le39$), y Josué Zelinsky y me han demostrado que mientras que las $n\le 21$, esto es cierto para todos los $m$. (Fijo poderes de $2$ y poderes arbitrarios de $3$ son mucho más fáciles de poderes arbitrarios de $2$!) De hecho, el uso de un algoritmo de la versión del método en los enlaces de preimpresión, he calculado que tan largo como $n\le 41$, esto es cierto para todos los $m$, aunque me temo que pasará algún tiempo antes de llegar a la escritura que...

No creo que algo mejor que la que se conoce en la actualidad.

Answer 5

Un problema simple en la teoría de números es la Conjetura de Collatz , y estoy un poco sorprendido de que nadie haya mencionado este todavía (considerando los ejemplos que cita, sospecho que es porque este no requiere nada más allá de las matemáticas de la escuela primaria entender y por lo tanto puede parecer inferior al nivel de esta pregunta). Sin embargo, lo agrego a la lista porque es increíblemente adictivo pensar en ello.